公理化是什麼意思

在數學科學的理論體系中，有些不定義的概念（原詞）和不證明的命題（公理），正是從這些原詞和公理出發堆起了龐大的體系。比如數學中的“集合”、“點”、“線”、“面”等都是原詞。“點”沒有大小，無限可分；但其嚴格的定義無法給出，很難說清楚點究竟是什麼？同樣構成公理體系的公理，也沒有證明；卻被用作其他命題證明的邏輯基礎。比如公理：兩點決定一條直線。

基於不同的研究物件、討論範疇，數學發展出了不同的公理體系：幾何公理體系發展早期是歐幾里得的古典公理辦法，直到20世紀由德國數學家希爾伯特提出一個比較完善的公理體系（希爾伯特公理體系）；以皮亞諾命名的自然數公理體系；排除羅素悖論，解決第三次數學危機而產生的集合論公理系統等等。

在公理化的浪潮中，出現了線性空間的公理化體系，在這樣的公理系統中，很多的範疇物件都具有線性空間的共性，於是討論它們的思路統一為：基——座標——維數——同構。再線上性空間的基礎上，透過用公理化的方法定義內積，引入歐氏空間。

在19世紀末到20世紀初，由於解代數方程而引進的域及群的概念，逐步產生了抽象群的概念：一個帶有運算的非空集合及四條公理組成，即封閉性、運算滿足結合律、有單位元素及逆元素存在。

基於1914年至1922年間拓撲空間得到公理化，泛函分析中的希爾伯特空間、巴拿赫空間也隨之完成公理化，成為基礎數學研究的出發點。

20世紀初受物理學的刺激，更多人開始關注隨機過程，比如柯爾莫哥洛夫、馬爾科夫等人；以及20世紀初完成了勒貝格測度與積分理論及後續發展出抽象測度和積分理論，成為機率公理體系建立的基石。