觀察以下句子：

“這句話是錯誤的。”

這句話是正確的嗎？ 如果是的話， 那麼這句話就是錯誤的。 如果不是的話， 那麼這句話就是正確的。 透過引用本身， 這句話創造了一個無法解決的悖論。 如果它不是正確的也不是錯誤的—— 那麼它是什麼呢？ 這個問題看起來像一個愚蠢的思維實驗

，

但在

20 世紀早期， 它使得奧地利邏輯學家庫爾特·哥德爾作出了一個永遠改變數學界的發現。

哥德爾的發現與數學證明的侷限性有關。

證明是一種邏輯論證，被用來展示何以一句對於數字的表述成立。 建立起這些論證的組成部分被稱為公理—— 有關這些提及到的數字不證自明的論述。 每一個建立在數學基礎上的系統， 從最複雜的證明到基礎運算， 都由公理推算而來。 如果一個關於數字的論述是正確的， 數學家就應該能夠用公理證明它。

從古希臘起，

數學家用這個系統

來充分證明或證偽數學陳述。

但當哥德爾進入了這個領域後， 一些新發現的邏輯悖論挑戰了先前的充分性。 傑出的數學家們迫切地想證明數學是沒有矛盾性的。 哥德爾自己卻沒有那麼確定。 而且他甚至對於數學是否是解決這個問題正確的工具更加沒有信心。

儘管用一個文字來形成一個自我引用的悖論相對簡單，

數字通常不會引用自身。 一個數學論述就是簡單的對或錯。 但哥德爾有了一個想法。 首先，他把數學論述和等式轉化成了程式碼， 從而使得複雜的數學概念可以用一數字進行表述。 這意味著用這些數字寫成的數學語句也表達了一些關於數學編碼語句的內容。 以這種方式， 程式碼能讓數學表述自身。 透過這個方式，他能夠將： “這個論述無法被證明” 寫作一個等式， 創造了第一個自我引用的數學論述。

然而，並不像那些啟發他的模稜兩可的句子，

數學論述必須是正確或者錯誤。 因此它是哪個呢？ 如果它是錯誤的， 那就意味著論述可以被證明。 但如果一個數學論述可以被證明， 那它一定是正確的。 這個矛盾意味著哥德爾的論述不能是錯誤的， 因此，“這個論述不能被證明” 是正確的。 然而這個結論其實更加令人訝異， 因為它意味著存在一個正確的數學等式卻無法被證明。

這個出乎意料的事實

正是“哥德爾不完備定理”的核心，

開啟了一個全新的數學論述的階段。 在哥德爾的範例中， 論述依舊是正確或者錯誤， 但正確的論述在給定的公理下可證或不可證。 此外，哥德爾提出這些不可證的正確論述存在於每一個公理系統中。 如此一來就無法用數學建立一個完美完滿的系統， 因為永遠會存在 無法被證明的正確論述。 即使你可以將這些無法被證明的論述 作為新的公理， 新增進已經很龐大的數學系統， 這個過程依舊會引入新的無法被證明的正確論述。 無論你新增多少新的公理， 你的系統中永遠會存在無法被證明的正確論述。 哥德爾的理論永遠成立！

這一發現震撼了數學領域的基礎，

粉碎那些夢想總有一天所有的數學論述都會被證明或證偽的人。 儘管大部分數學家接受了這個全新的現實， 一些人滿懷期待的想推翻它， 而剩下的則打心底裡努力地去忽略這個他們領域中全新的無法被填補的窟窿。 不過當越來越多的經典問題被證明它們是無法被證明的正確論述， 一些人開始擔心他們無法完成畢生的事業。 即便如此，哥德爾定理開啟的門和關閉的門一樣多。 有關無法被證明的正確論述的知識成為了早期電腦的關鍵創新啟發。 而如今，一些數學家窮盡他們的職業生涯試圖去證明那些無法被證明的論述。 因此即使數學家可能丟失了一些必然性， 多虧了哥德爾， 他們得以以滿心的期待去擁抱未知。