真理之眼的含義是什麼

現代物理學告訴我們，宇宙可能是有窮的，時空也可能是離散而非連續的，但在現代數學中我們似乎有著非常確定的、關於某些無窮和連續的數學物件和結構的真理。這些獨立於物質世界的數學物件和結構果真存在嗎？數學定理果真是關於它們的客觀真理？我們的物質性的、有限的大腦又如何真的可能認識那些獨立於物質世界的、而且是無窮的事物？也許不應該以這種方式理解數學真理？這是令當代西方一些哲學家困惑的一個問題。本文的目的是向哲學專業以外的讀者介紹近代與當代一些哲學家對這個問題的思考，並作一些評述。

撰文 | 葉峰

（首都師範大學哲學系教授）

1 數學真理是什麼？

如果問題是數學的內容是什麼，那麼回答自然是，數學包括分析、代數、幾何等等。但我們這裡關心的是，這些分析、代數、幾何中的定理是什麼性質的真理，它們與我們所認識到的其它真理，比如自然科學中的真理，有什麼共同點與差異？尤其是，數學真理的基礎是什麼？或者說，數學定理之為真，是依賴於什麼？

比如，自然科學中的一個論斷的真假，是依賴於該論斷是否與現實的物質世界的實情相符合。大爆炸宇宙模型是真的，指的是這個現實的宇宙確實是像這個模型所描述的，或者說，這個模型符合這個現實的宇宙；同樣，牛頓運動定律是近似地真的，指的是它們近似準確地描述了現實世界中的物質運動的實情。這些都是常識，沒有什麼特別深奧的。那麼，說一個數學命題是真的，也是指該命題真實地描述了某個數學世界中真實存在著的數學物件與結構嗎？比如，說一個關於自然數的命題是真的，也是指該命題真實地描述了真實存在著的自然數嗎？聽起來這好象是顯然的，但是仔細分析一下我們會看出，它實際上蘊含了一個謎。

首先，它蘊含了存在著一個獨立於物質世界的抽象的數學世界。因為現代物理學告訴我們，我們生存於其中的這個物質世界可能是有窮的：在宏觀上，大爆炸宇宙模型提供了一個宏觀上有窮的宇宙模型；在微觀上，有關量子引力的一些現象，顯示著在微觀的普朗克尺度上，時空的自由度可能是有限的，這意味著，時空在微觀上可能是離散的而不是連續的。而另一方面，數學中的許多物件和結構是很確定地被描述成無窮的物件和結構。最簡單的自然數也有無窮多個。雖然宇宙是有窮還是無窮在現代物理學中沒有定論，但我們可以假設，即使現實的物質世界果真是有窮的，數學定理的真理性應該還是不變的。至少，“對任一自然數，都有一個比它大的另外一個自然數”這樣一個命題應該還是真的。這已經意味著，數學中的無窮的物件和結構，應該是與現實的物質世界無關的物件和結構。即使現實的物質世界果真是有窮的，我們還是有同樣的無窮多個自然數、同樣的數學真理。我們甚至將數學應用於明顯是有窮的領域，比如經濟學中。可見，即是整個宇宙是有窮的，那也不過就像在經濟學領域一樣，我們還是可以應用同樣的數學。在那裡，雖然無窮的數學模型只是近似地描述了現實世界中的現象，但是數學定理對於那些無窮數學模型來說，應該是嚴格準確地真的。所以，那些無窮數學模型中的數學物件和結構，只能是存在於一個獨立於現實的物質世界的數學世界中。換句話說，數學世界只能是一個獨立於現實的物質世界的獨立王國。

是否果真存在著這樣一個獨立的數學王國，當然會引起我們的懷疑。更重要的是，我們人類應該是這個現實的物質世界中的一個部分。我們的大腦，應該是這個現實的物質世界長期進化的產物。我們的知識應該來源於我們的大腦透過我們的感覺器官與物質世界的相互作用。所以，一個哲學上的謎就是：這樣一個有限的大腦與有限的物質世界的相互作用，如何能夠產生對那個獨立王國中的無窮、甚至超無窮的數學物件和結構的知識？這是否意味著我們有著獨立於物質性的大腦的某種心靈，而且我們的心靈有著某種神秘的直覺，可以認識超出有限的物質世界之外的無窮、甚至超無窮的數學物件和結構？這是否意味著神秘主義？換句話說，它是這樣一個謎：一方面，直觀上我們似乎確實有著關於無窮、甚至超無窮的數學物件和結構的知識；另一方面，如果它們真的是獨立於現實的物質世界的物件和結構，我們究竟是如何得到關於它們的知識的？究竟是依據什麼來斷定一個數學定理或公理是真的？我們不能觀察到那些無窮的物件和結構，不能像對牛頓力學那樣，用觀察來驗證它是近似地真的，用觀察來驗證它不如相對論更準確等等。所以，一個數學命題之為真的依據究竟是什麼？

也許，並沒有這樣一個獨立於現實的物質世界的數學上的獨立王國。那麼，數學真理又是什麼？數學定理還是客觀真理嗎？一種自然的想法是，數學公理只是假設。它們本身不是客觀真理。數學家們只是從那些假設推匯出定理。但是，數學家們顯然不是在隨意地作假設。科學家們作一些科學假說，是因為他們揣測那些假說可能是真的，然後他們用實驗去驗證或反駁那些假設。同樣地，數學家們接受了一些公理，從那些公理推匯出定理，是因為他們確實直覺到那些公理的自明性。他們不會任意地選擇一些命題作為公理，然後就去推導定理。比如，假設用現有的公理可以證明哥德巴赫猜想，而用另外一些公理可以推匯出哥德巴赫猜想的否定。假如公理僅僅是一些任意的假設，那麼是不是說哥德巴赫猜想本身也無所謂真假了？將數學公理僅僅看成假設，可能是因為混淆了兩類不同意義上的公理。一種是像一些數學結構的定義公理，比如群的定義公理。這些公理確實只是假設。群的定義只刻畫了群這一類結構，它們本身不蘊涵群存在。要證明群存在，需要一些更基本的更實質性的公理，也就是集合論中的公理，它們斷言空集存在，兩個集合的並集存在等等。特別地，要證明無窮群存在，需要集合論中的所謂無窮公理，即至少存在一個無窮集。無窮公理似乎不僅僅是假設。它直接地斷定無窮集存在。如果它是假的，如果無窮集不存在，那麼很大一部分數學似乎就無意義了。而且，從另一方面看，既然像無窮公理、選擇公理這樣的假設，使得所推匯出的數學定理在科學中有著廣泛的應用，我們能否說科學就證明了這些假設不僅僅是隨意的假設，而是蘊含著真正的真理？

這些問題，是關於數學真理是什麼的主要問題。概括起來是：數學真理是什麼性質的真理？一個數學命題之為真是依賴於什麼？我們是依據什麼來認識數學真理和判斷一個數學命題（包括公理）為真的？我們將稱之為數學的真理性問題，或關於數學真理性的困惑

[1]

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本文的目的不是回答這些問題。本文的目的是簡要地介紹歷史上哲學家們對數學真理的本質的思考，考察它們是否提供了對這個問題的答案。同時我們還想從中尋找一些發展脈絡，尤其是考察，種種困難如何迫使哲學家們對數學真理的定位搖擺於邏輯真理與經驗科學的真理之間。這裡，我們是從現代數學的角度提出這些疑問的。現代數學產生之前的對數學真理的本質的哲學思考，不可避免地有著它們的時代侷限性，但是它們在今天還是會有一些啟發性的意義。所以本文將從考察恩格斯對數學的定義和康德對數學真理的定位開始。但我們將主要考察最近一百年來西方哲學家對這些問題的思考，並對之作出一些評價。另外，本文的目的不是要完整地描述數學哲學的歷史，所以我們將只考察那些與數學真理的本質與定位有關的哲學思想。

我們將側重於這些哲學問題，但是本文將不假設讀者具備任何哲學史或現代數理邏輯的知識。關於數學真理的本質的問題，應該是任何具備了一些現代數學和自然科學常識的人都可以認真思考的問題。本文的目的之一，是希望能引起非哲學專業的讀者們對這一問題的興趣。因此，我們將不繁瑣地引證我們對一些哲學家的思想的闡釋的正確性，而將側重於用非專業性的語言，勾畫出歷史上哲學家們對這些問題的思考的脈絡。另一方面，對數學真理的本質的思考，確實又是西方哲學的主要動力之一。從畢達哥拉斯和柏拉圖，到康德，又到二十世紀以來的西方分析哲學，哲學家們都想為數學真理在我們的知識大廈中找到一個合適的位置。而這種努力所遭遇到的困難，使得一些哲學家們提出了一些深刻的見解，也迫使一些哲學家提出了一些從常識看來似乎是荒謬的世界觀。理解這一點，也有助於理解西方哲學。

2 數學與自然科學

最常聽到的對數學的定義也許是恩格斯的定義：“數學是研究現實世界的數量關係與空間形式的科學”。許多人已經正確地指出，現代數學的內容已經遠遠超出“現實世界的數量關係與空間形式”所能概括的範圍。現代代數學中所研究的代數結構，和現代分析中所研究的函式空間等等，很難用“數量關係”來概括；現代幾何學所研究的，也遠遠超出了“現實世界的”空間形式。尤其是，現代數學中研究的許多物件是無窮的物件，包括無窮的代數結構，無窮的幾何空間等等，而現代物理學告訴我們，我們生存的這個物理世界有可能是有窮的。所以數學中研究的許多物件，已經遠遠超出了“現實世界”。基於這一點，特別是由於布林巴基學派的影響，有人提出，恩格斯的定義可以修改為：“數學是關於抽象模式或抽象結構的科學”。

但是，這種簡單草率的推廣忽略了一個非常嚴重的問題。在恩格斯原來的定義中，“現實世界”這個限制與“科學”這個概括其實是密切相關的。自然科學探索關於現實世界的真理。自然科學中的論斷的真理性依賴於現實世界的實際構成，是對現實世界的反映。大爆炸宇宙模型如果是真的，那是由於現實的宇宙恰好是如此。牛頓引力理論是近似地正確的，那也是由於現實的物質世界恰好是如此。自然科學可能會發現一些一般性的定律，獨立於我們在這個現實世界中觀察到的偶然的初始條件，但是它們也是關於現實世界的一般性定律。我們也許可以想象另外一種物質世界，在其中，物理定律與這個真實的世界中的物理定律完全不同。但這不是自然科學所關心的。自然科學關心的是這個真實的世界。對自然科學真理的驗證，依賴於我們對現實世界的觀察，來源於我們的經驗。如果數學研究的也是現實世界中的數量關係與空間形式，那麼數學與自然科學在本質上是相同的，因此數學可以被歸類在科學之下。比如，也許與物理學相比，數學只是考慮現實世界中物體的一些更簡單、更一般的屬性。比如只考慮物體的個數、形狀等“數量與幾何屬性”，而不考慮它們的質量、顏色等物理屬性。也許m+n=n+m與物理定律一樣，是對現實世界中物體的個數的真實描述，只不過它比物理定律更簡單，已經經過了無數次的經驗驗證。同樣地，也許平面幾何中的定理，是對現實世界中物體的形狀的真實描述，雖然在幾何學中我們可以透過證明來得到許多這些真理，而不必去直接地測量，因為只要那些公理是對現實世界中物體的形狀的真實描述，由公理嚴格推匯出的定理也一定是對現實世界中物體的形狀的真實描述。所以恩格斯的定義雖然不能概括現代數學，但至少在邏輯上是自洽的，在概念上是清晰的，而且用於初等數學時，有明顯的合理性。

但是，如前所述，現代數學研究的是所謂抽象結構，包括與現實物質世界毫不相干的結構，比如與現實的宇宙毫不相干的一些幾何空間，因此現代數學應該在本質上不同於自然科學。將研究抽象結構的數學稱為“科學”，掩蓋了一些根本性的問題：比如，所謂的抽象結構，尤其是超出這個現實世界的結構，究竟是什麼？它們果真存在嗎？數學真理的基礎又是什麼？比如集合論中的所謂無窮公理，即至少存在一個無窮集，假如現實的物理世界在微觀和宏觀上都是有限的，那麼無窮公理的真理性的基礎又是什麼？還有，現代數學中廣泛地用到選擇公理，它的真理性的基礎又是什麼？顯然它們不能像自然科學中的真理一樣，是基於它們與現實的物質世界相符合，因為現實的物質世界中可能根本不存在無窮。如果它們的真理性依賴於它們與所謂的抽象結構相符合，那麼就有了上一節所提到的那些謎：既然我們不能用眼睛，甚至不能用望遠鏡去觀察它們是否符合，我們究竟是如何認識那些公理的真理性的？

這些都顯示著現代數學與自然科學的差異，以及將現代數學描述為關於抽象模式或抽象結構的科學所帶來的問題。所以，對現代數學而言，關於數學真理的基礎究竟是什麼這一問題，恩格斯的定義沒有提示明確的答案。

3 康德：數學真理是先天綜合判斷

其實，即使限於初等數學，而且限於將初等數學定理看作是關於現實世界中的數量關係與空間幾何形式的真理，將數學視為同物理學一樣的經驗科學，也有著一些難點。所以，與之相對應的，有哲學家康德對數學的定位：數學真理是所謂先天綜合判斷。下面我們將簡要地解釋一下這意味著什麼。

首先，我們可以想象一個有著不同的物理規律的世界，但我們似乎無法想象一個2+3不等於5的世界。所以2+3=5似乎有著與物理規律不同的普遍性與必然性。兒童們可能是透過數石子、積木等物體來學習2+3=5，但這與科學家們透過觀測來發現或驗證物體間萬有引力的平方反比定律，似乎有著實質性的區別。我們有著關於引力的概念，有著關於距離的概念，但這些概念本身並不必然地蘊涵著物體間的引力與距離的平方成反比。這個定律的真實性依賴於這個世界的偶然的構成；同時，要認識和驗證這個定律，我們必須實際地去觀測這個世界中的物體。可是，一旦我們掌握了數與加法的概念，我們並不再用數石子去驗證關於加法的真理，比如1234+5678=6912，或者m+n=n+m。假如有人真的找了那麼兩堆石子來數，然後聲稱得出的結果是1234+5678不等於6912，我們不會認為他找到了一個反例。這與科學家透過觀測光線透過太陽附近的彎曲來尋找牛頓力學的反例不同。我們也不能透過數石子來驗證像m+n=n+m這樣一般性的結論。對於非常大的兩個數的和，有限的宇宙間也許根本沒有那麼多物體來數。我們認為1234+5678=6912與m+n=n+m的正確性是依賴於數與加法的概念，而不是依賴於這個物質世界的偶然構成。在現實世界中，2升的酒精加到3升的水中，由於溶解作用，可能我們並不得到5升的溶液，但我們認為這與2+3=5的真理性不相干。在這些意義上，像2+3=5與m+n=n+m這樣的數學真理，是所謂先天真理：它們是必然的，它們的普遍性超出我們任何可能的經驗；雖然我們可能是透過經驗才意識到它們的真理性，但它們的真理性不依賴於我們的經驗。

另一方面，有一種型別的判斷，其為真確實不依賴於我們具體的經驗，而是僅僅依賴於其中的邏輯連線詞的含義或概念的定義。這些是所謂分析真理。通常所說的邏輯真理是分析真理中簡單的一種。邏輯真理指的是那些僅僅依邏輯連線詞的含義就為真的判斷，比如“今天下雨或者今天不下雨”，“如果今天下雨而且今天打雷，那麼今天下雨”。他們之為真，僅僅依賴於其中的邏輯連線詞的意義，也就是“或者”，“而且”，“不”，“如果，那麼”這些詞的意義，甚至與“下雨”等這些概念無關，更不用說與今天是否真的下雨無關。另外一種型別的分析真理，是依概念的定義為真的真理，比如，“植物是生物”。這個判斷為真，僅僅依賴於“植物”與“生物”這兩個概念的定義，其中“植物”的定義，就包含著植物是某種生物，而不論宇宙中是否真有植物或生物。要認識這個真理，我們也不需要去觀測宇宙中是否真有植物或生物，或者宇宙中的植物或生物是怎樣的。對於一個像“植物是生物”這樣的分析真理，如果將其中相關的概念的定義明確地表達出來作為一些前提，那麼這個分析真理就是這些前提的邏輯推論。例如，“植物”的定義也許是“植物是……的生物”，以此為前提，就可以邏輯地推匯出“植物是生物”。換句話說，一個命題P是分析真理，當且僅當“如果P*，那麼P” 是純粹邏輯上的真理，其中P*是表達P中的相關概念的定義的命題。如果P本身就是像上面所說的“A 或者並非A”那樣的邏輯真理，那麼它是這個分析真理的定義的一個特例，因為在這種情形下，“如果P*，那麼P”自然也是邏輯真理。分析真理的真理性基礎應該是清楚的。它們之為真，是依賴於相關的概念的涵義。它們近於所謂的同語反覆，是空洞地真的。給定了相關的概念的涵義後，一個分析真理，不含任何超出概念的涵義之外的事實內容，不對現實世界中的事實作任何肯定或否定。就像“今天下雨或者今天不下雨”，對現實世界中的事實作沒有作任何肯定或否定。

但是康德認為，2+3=5不是分析真理，因為“2”、“3”和“+”的概念中似乎不包含“5”這個概念。“2”、“3”、“5”和“+”這些概念必然地蘊含著2+3=5為真，但是康德認為這不能僅僅由分析這些概念得出。同時，這樣的真理似乎不是同語反覆，不像“植物是生物”或者“今天下雨或者今天不下雨”那樣，對現實世界中的事實作不作任何肯定或否定。它們似乎有著一些真實的內容。

與分析真理相對立的就是所謂綜合真理。所以康德的結論是，數學真理是先天綜合真理。一方面，它們有著與普通的經驗真理不同的必然性，它們之為真，不依賴於我們有意識地觀測到的關於這個世界的一些偶然事實，而且，對它們的認識和驗證，也不依賴於對現實世界的觀測；另一方面，它們之為真，也不僅僅依賴於我們的概念的定義，它們不是簡單的同語反覆。從這後一結論我們可能會得出，既然它們不僅僅依賴於我們的概念的定義，它們就一定依賴於關於這個世界的一些實際的事實。比如，既然它們不像“今天下雨或者今天不下雨”那樣是一個空洞的真理，那麼它們就應該像“今天不下雨”那樣，是一個有事實內容的真理，因此這似乎就與前一結論，即與它們的必然性與先天性相矛盾。同樣地，從它們的必然性與先天性我們可能會得出，既然對它們的認識和驗證不依賴於對現實世界的觀測，它們應該就沒有對現實世界中的事實作作任何肯定或否定，因此應該就是像“今天下雨或者今天不下雨”那樣，是一個空洞的分析真理。這個困惑，就是康德的哲學所要回答的。他要回答，先天綜合真理是如何可能的，我們關於先天綜合真理的知識又是如何可能的。由此也就回答了，數學真理是什麼以及我們是如何得到數學真理的。

康德的回答，用通俗的語言極其簡單地概括起來是：我們用於認識世界的認知官能本身有一些結構和功能（又叫先天認知形式）；我們的認知官能，用這樣一些“先天”的結構和功能，來組織我們的感官所接受到的、從外部世界來的感覺材料；而先天綜合真理，就是由我們的認知官能的這些先天的結構和功能決定了的真理。換句話說，我們認識世界的器官，不是簡單地反映外部世界。它對我們的感官所接受到的原始的感覺材料，如視覺形象、聲音等等，作了一些組織和處理，使得感官所接受到的感覺材料不是無秩序的、無結構的。比如，將相關的感覺材料組合成關於一個物體的印象，將它們排列成時間空間上的順序和關係，排列成因果關係上的關聯順序等等。這樣組織的結果，自然使得我們得到的對外部世界的印象，符合某些規律。這些規律，實際上是我們的認知官能加在外部世界上的。因此，有些真理，比如幾何學中關於空間關係的一些最基本的真理，是我們認識世界的器官的這種運作的結果，是由我們認識世界的器官的這種功能本身決定的。換句話說，也許並非外部世界是真正地如此，而是我們認識世界的器官的一些內在的結構，決定了我們只能以某種方式來認識這個世界，所以使得我們所認識的世界只能符合某些真理，也就是說，使得一些關於這個世界的判斷對我們來說是必然地真的。同時，對這些真理的驗證，也並不真的依賴於對這個世界的實際的觀察，因為所有可以觀察到的東西，由於我們本身用於觀察和認知的器官的一些內在的結構，都已經必然地符合這些真理了。所以它們是先天的真理。另一方面，既然我們的認知官能確實對我們的感官所接受到的原始的感覺材料作了組織和處理，那麼反映組織和處理的結果的真理，就不會僅僅是空洞的同語反覆，而是有著確實的內容。因此它們不是分析的真理。先天綜合真理就是這樣一些對我們來說必然的，絕對普遍的，不真正地依賴於經驗的，但又是有內容的，有所肯定的，不僅僅是同語反覆的真理。

康德的哲學非常複雜，我們不可能在這裡做深入的討論。這裡，我們只想指出它的兩個難點。首先，如果僅僅限於對現實世界中我們所能直接觀察到的數量關係與空間形式的判斷，康德的解釋，似乎確實比簡單地將數學等同於其它經驗科學更合理、更深刻。從現代科學的角度看，由現代語言學與現代認知科學所揭示的，我們的大腦顯然有著某種先天結構。並非我們所有的知識都是對我們的感官所接收到資訊的簡單記錄或簡單概括。我們的一些知識可能是由我們的大腦的先天結構決定的。比如，一個能夠學習的人工智慧系統或機器人，在開始學習之前，必定是先掌握了一些最基本的知識，它們是由系統的程式的結構所決定的。所以，即使是從現代科學的角度看，康德的解釋也有它的合理性，雖然康德是從所謂超驗的角度來考察這個問題，不是像現代認知科學那樣，是從經驗的角度研究人如何獲得知識。

但問題是，現代數學似乎有它自己的獨立於現實世界的物件。因此，現代數學的真理是否也是由我們的認知官能的先天結構決定的，有很大的疑問。如果我們的認知官能的功能，是對我們的感官所接受到的感覺材料進行組織和處理，那麼由於我們的感官所接受到的感覺材料都是有窮的，這種認知官能的先天的結構如何能夠決定現代數學中關於無窮數學物件和結構的真理？包括關於超窮的集合的真理？康德本人對無窮所導致的所謂二律背反的態度也說明了，要將現代數學中對無窮數學物件和結構所肯定的真理納入康德式的解釋，會有實質性的困難。現代數學與初等數學不同。初等數學中的基本公理，似乎是由我們最直接、最原始的直觀就能認識到。現代數學中對一些概念和數學公理的認識，比如對超窮集合概念、無窮基數概念，選擇公理等等的認識，是經歷了類似於科學中的嘗試、錯誤、再嘗試的長期的經驗過程，不是像學習數數那樣，僅僅是伴隨著兒童的大腦發育過程的學習過程。因此，很難認為我們對超窮集合、選擇公理等等的知識，也是先天地由我們的認知官能的先天結構決定的。

關於康德的數學觀的第二個難點是，康德沒有對“2”、“3”，“5”和“+”這些概念究竟是怎樣的概念作出足夠清晰的分析。比如，“3”這個概念，是否就包含著“3是2後面的那一個自然數”？如果是的話，這是否意味著，2+1=3就是依概念的定義而為真的？由此更進一步，我們能否透過更仔細的分析得出，（2+1）+1=4，乃至2+2=4，2+3=5等等都是依概念的定義而為真的？因此實際上它們都是分析真理？

這兩個難點說明，康德對數學真理的解說是不完全的，而且不適於現代數學，至少在未經改造之前不適於現代數學。但同時我們也看到了康德的努力的動因：數學真理，一方面似乎不像“今天下雨或者今天不下雨”那樣是一些空洞的、與內容無關的真理；另一方面，它們也不像“今天不下雨”那樣是一個直截了當的事實的真理。

4 弗雷格：數學真理就是分析真理

前面提到，康德沒有對數的概念作足夠細緻的分析。十九世紀末，邏輯學家與哲學家弗雷格正是對包括“2”、“3”，“5”和“+”等的算術概念作了更深刻的分析，由此他試圖證明，算術中的真理實際上也是由概念的定義而為真的，就像上面所提示的那樣，因此也就是分析真理。

[2]

作為這種分析的工具，弗雷格發明了現代數理邏輯，成為繼亞里士多德以來邏輯學中最偉大的成就。康德之所以未能做到這一點，就是因為他缺乏這種分析所需要的邏輯工具。

弗雷格對自然數概念的分析很容易透過集合與集合之間的等勢關係來理解。兩個集合等勢，指的是兩個集合的元素之間有一個一一對應，也就是兩個集合的元素的個數相等。這裡很重要的是，“兩個集合的元素的個數相等”這個概念並沒有真正依賴於“數”這個概念，它只依賴於“一一對應” 這個概念。這個概念是可以用弗雷格所發明的現代數理邏輯語言表達的。然後，一個自然數，就可以定義為一個由所有兩兩等勢的集合（也就是所有元素個數等於那個自然數的集合）所組成的一個類。比如2這個數，就相當於所有恰好包含兩個元素的集合組成的類。

這是用了現代集合論的術語來解釋弗雷格的自然數概念。弗雷格本身是將“概念”作為他的理論的初始概念，而將一個集合或類看成一個概念的外延。對於概念，我們說某個東西會“落在這個概念當中”，比如，弗雷格落在“人” 這個概念當中，因為弗雷格是一個人。這相當於說，弗雷格屬於“人” 這個概念的外延，即所有的人組成的集合。這樣，相應於將數看成一個由所有兩兩等勢的集合所組成的一個類，弗雷格認為一個自然數是一個所謂的二階概念，或一個概念的概念。一個概念的概念的外延就是一個由一些概念組成的集合或類。概念之間也有等勢關係。兩個概念是等勢的，假如它們的外延是等勢的集合。所以，一個自然數是這樣一個概念的概念，它的外延是由所有兩兩等勢的概念組成的一個類。比如，“2”就是這樣一個概念的概念：一個概念P落在“2”這個概念的概念之中，當且僅當P的外延恰好包含兩個元素。更具體地說，自然數0是這樣一個概念的概念：一個概念P落在0中，當且僅當P的外延是空的，即P是一個空概念；1是這樣一個概念的概念：一個概念P落在1中，當且僅當對任何落在這個概念P中的物件x，概念“是P但不等於x”是落在0中的一個概念，即是一個空概念。顯然地，一個概念P落在1中，當且僅當P的外延恰好只有一個個體。但是，要特別注意到的是，“0”和“1”的定義中沒有迴圈，尤其是，沒有用到自然數的概念。一般地，當我們定義了自然數n以後，n後面的那個自然數（n+1）就是這樣一個概念的概念：一個概念P落在（n+1）中，當且僅當對任何落在這個概念P中的物件x，概念“是P但不等於x”是落在n中的一個概念。不難看出，假如落在“n”這個概念的概念中的概念的外延都恰好由n個個體組成，那麼落在“n+1”這個概念的概念中的概念的外延也都恰好由n+1個個體組成。自然數的加法運算，也是在這個基礎上定義的：假如m和n都是自然數，那麼m+n是這樣一個概念的概念，它使得，假如概念P是落在m這個概念的概念中，而且概念Q是落在n這個概念的概念中，而且概念P與概念Q不相交，那麼概念“P或Q”就落在m+n這個概念的概念中；而且反之，任何落在m+n中的概念都等價於這樣的某個“P或Q”。

有了這樣一些明確的關於自然數與算術運算的定義後，弗雷格試圖證明，算術中的定理是依概念的定義而為真的分析真理。也就是說，一旦將相關的概念的定義都明確地表達出來，一個算術定理其實就是邏輯真理。以m+n=n+m為例，由上面對m+n的定義不難看出，它之為真，其實是基於“P或Q”在邏輯上等價於“Q或P”這個事實。同樣，如果將“2”，“3”，“5”，“+”等等都按前面的定義展開，2+3=5將變成一個在句法結構上非常複雜的命題。但是，弗雷格的結論是，2+3=5本質上就像“今天下雨或者今天不下雨”一樣，是一個僅僅依“或者”、“不”這樣的邏輯連線詞的含義就為真的邏輯真理。當然，2+3=5展開後還會用到很多其它的邏輯連線詞，比如“而且”，“對任何”，“如果…，則…”，“當且僅當”等等。弗雷格的具體分析很複雜，我們不能在這裡詳細介紹，它需要現代數理邏輯的專門知識。但如果成功的話，弗雷格的方法可以很自然地推廣到實數理論或其它高等數學中，由此說明，高等數學中的定理也是概念上的真理，或邏輯真理。

我們看到，弗雷格的計劃是宏偉的。一方面，他要透過更深入的概念分析，說明像2+3=5這樣的判斷，也是依概念的意義就為真的，可以由有關概念的定義，透過邏輯推理推匯出來。另一方面，他所要概括的不僅僅是這樣的初等數學，原則上還要包括所有的數學。他要根除康德的先天綜合真理的必要性，給我們一個關於我們的知識的更簡單的圖畫。在這個圖畫中只有兩類真理：一類是事實的真理，它們對現實世界有所肯定，它們之為真，是依賴於現實世界的偶然的實際構成，就像“今天不下雨”那樣；另一類就是邏輯真理或分析真理，它們之為真，是由概念的含義本身決定的，與現實世界的實際構成無關，它們對現實世界中的事物無所肯定也無所否定，就像“今天下雨或者今天不下雨”那樣。前一類是自然科學中的真理，後一類則包括邏輯和數學中的真理。邏輯和數學就是同樣的東西。

如果成功的話，弗雷格應該能比康德更好地提供關於現代數學真理性問題的答案。前面提到，對於現代數學來說，這個問題的難點是，直觀上，一方面我們似乎確實有著關於獨立於物質世界的無窮的抽象數學物件和結構的知識；另一方面，考慮到我們自身是生存於這個有限的物質世界中的生物，我們如何能夠具有那些知識成為一個謎。比如，我們究竟是依據什麼知道存在著無窮多個自然數？我們不能透過去數星星或原子的數目來證明有無窮多個自然數。事實上，這個數目甚至可能是有限的。依弗雷格的思想，回答應該是，斷言存在著無窮多個自然數，與斷言存在著無窮多個星星或原子不同。前者，是純粹由“自然數”這個概念本身決定的。要認識它，並不需要我們有限的大腦透過感官與某些非物質的無窮的數學物件相接觸，只需要我們能夠掌握“自然數”這個很具體的概念。透過分析這個概念，我們就可以純粹從邏輯上，從“而且”、“對任何” 、“如果…，則…”、“當且僅當”等等這樣的邏輯連線詞的涵義，推匯出這個論斷。所以，如果成功的話，一方面弗雷格的解答可以包括現代數學，另一方面，它又消解了那個認識論上的謎，而不必去假設我們認知官能的先天結構等等，因此就超越了康德。

但從另一方面看，弗雷格的思想確實也有神秘之處。邏輯真理應該是對任何事物都是真的真理，不管是有窮多個事物還是無窮多個事物。但是回憶一下前面關於自然數0，1，等等的定義。既使物質世界是空無一物，0作為“是一個空概念”這樣一個概念的概念還是存在的。然後1，2，3，等等作為概念的概念都存在。由“空”就神秘地生出無窮多個東西來了。這一點，其實與所謂的羅素悖論，及其導致的弗雷格的計劃的失敗，是密切相關的。

要理解羅素悖論，可以首先注意一下，直觀上，有些概念的概念可以應用於自身，有些則不可。比如，“是一個概念”本身也是一個概念，所以，“是一個概念”是一個概念，即這個概念可以應用於自身；反之，“不是一個概念”本身還是一個概念，所以，這個概念不可以應用於自身。現在考慮這樣一個概念的概念：“是一個不可應用於自身的概念”。記這個概念為R，那麼對任何一個概念X，X是R，當且僅當X是一個不可應用於自身的概念。特別地，概念R是R，當且僅當R是一個不可應用於自身的概念，也就是說，當且僅當R不可應用於R自身，即當且僅當R不是R。所以我們有：概念R是R，當且僅當R不是R。這是一個矛盾。這說明，“概念”這個概念本身並不清晰，無限制的運用會導致矛盾。

在弗雷格的嚴格的邏輯系統中，這個矛盾可以被嚴格地推匯出來，也就是說，弗雷格的系統是自相矛盾的。所以弗雷格的計劃未能成功，而對於數學真理究竟是什麼真理，它們之為真的基礎究竟是什麼這個問題，弗雷格未能給出答案。

5 小結：描述數學真理的幾個座標

如果我們將普通的經驗真理，比如像“今天下雨”那樣的經驗真理，還有自然科學中的描述現實世界的真理放在左邊，將像“A或者並非A”那樣的空洞、與現實世界的實際構成無關的邏輯真理放在右邊，那麼，將數學視為一種自然科學的觀點是“左派”，弗雷格的邏輯主義是 “右派”，而康德的先天綜合真理想法則是“中間派”。這是描述數學真理的一個尺度。我們將要看到，一些哲學家們對數學真理本性的思考，是在這左、中、右之間搖擺。（當然，這與政治上的左、中、右毫不相干。）

另一方面，有一些對數學的解釋在不同程度上否認數學定理是真理。這是描述數學真理的另外一個尺度，即從完全否認數學定理表達真理，到接受某些數學定理為真理而否認另外一些，到相信所有的數學定理都表達真理。比如，二十世紀初數學家希爾伯特提出的形式主義。

[3]

它承認初等數學或有窮數學包含真理，但是認為無窮數學本身只是一些無意義的符號演算。希爾伯特提出一個希爾伯特方案，試圖用來說明為什麼那些無意義的符號演算能夠有用，也能夠幫助推匯出一些初等數學的真理。由於著名的哥德爾不完全性定理，這個方案不能按原來所設想的那樣得到成功。又如，與希爾伯特同時代的數學家布勞維爾提出的直覺主義數學，認為像自然數那樣的數學物件是我們在直覺中的構造，而且，只有我們能在直覺中構造出的數學物件才是存在的，關於這些物件的數學命題才是有意義的，因此才可能有真假。換句話說，超出這些數學物件的命題，比如關於無窮基數的一些命題，是沒有意義的。直覺主義對數學作了一些限制，使得數學證明變得更復雜，而且似乎是沒有必要地複雜，所以它沒有被數學家們採納。還有一些工具論者，他們認為數學僅僅是工具，數學命題沒有真假可言，因為它們不是邏輯意義上有真假的判斷。他們認為對於數學命題，我們只能問它們是否有用。限於篇幅，我們不能詳細介紹這些對數學真理的解釋。

這兩個尺度就像兩個座標，可以標示不同的對數學真理的解釋。由於種種難點，使得哲學家們在解釋什麼是數學真理時，不得不在這兩個座標所標示各個位置之間擺動。

當然，這樣兩個尺度還不足以描述數學真理性問題的複雜性。比如，就數學真理的物件來說，有些哲學家，即所謂的柏拉圖主義者，認為數學物件是真實存在的獨立於物質世界與我們的心靈的抽象實體。有些哲學家，即所謂的結構主義者，強調數學真理表達的是關於結構的真理，而不是關於物件的真理，因此真正存在著的是結構，而不是抽象實體。還有一些哲學家，即唯名論者，認為抽象實體（包括抽象結構）都不存在，因而數學物件也不存在。所以他們實際上認為，數學判斷至少在字面意義上是假的，因為它們在字面意義上所說的數與集合等抽象數學物件都不存在。這是描述數學真理的另外一個尺度。當然，這些哲學家強調要區分數學命題字面上的意義和它們的真正的意義，或經過某種解釋後的意義。在字面意義上，一個數學命題似乎是在描述一些獨立於物質世界與我們的心靈的抽象實體。但是，有些哲學家認為，數學命題的真正意義是與數學物件無關的，而且是純邏輯的判斷；而有另外一些哲學家則認為，經過某種解釋後，一個數學命題就是在描述物質世界，因此也就與自然科學中的命題一樣。（見下面的第八小節。）

限於篇幅，我們將側重於前面所提到的第一個尺度，也就是問，數學真理是處於從自然科學中的事實真理，到邏輯真理之間的什麼位置上。這也許是比較重要的一個尺度，因為即使是完全否認數學命題本身就是真理的哲學家，也無法否認，在經過恰當的解釋後，一個數學定理蘊含著某種意義上的真理。這些哲學家的觀點之間的區別，實質上是在於什麼才是恰當的解釋，如何去作恰當的解釋等等。

6 邏輯實證主義者與卡爾納普：數學真理是語言上的約定

弗雷格將數學歸結為邏輯的企圖未能成功。現代數學最終是建立在集合論之上。在集合論中，我們不再是像弗雷格那樣，從“概念”多少有些神秘地產生出數學物件，而是將集合的存在，比如空集、無窮集的存在，明確地列為公理。所以，集合論至少在表面上似乎是在描述一些特定的物件，而不是像邏輯那樣，被認為是僅僅包括對任何物件都真的真理。集合論中的無窮公理、選擇公理等等，很難說是純粹邏輯上的真理。它們都肯定某些特定的事物存在。無窮公理更斷言無窮多個事物存在，而邏輯公理應該是對任何可能的事物都是有效的，包括總共只有有限個事物的情形。更何況，一些數學家們還嘗試著給集合論增加新公理，以解決一些獨立於現有集合論的問題。也就是說，集合論的內容要超出純邏輯的真理。另一方面，這些數學公理又確實顯得不同於普通的自然科學中的有直截了當的事實內容的真理。

面對這樣一種狀況，一種很自然的反應，是將對數學真理的解釋擺回到邏輯真理與科學真理的中間，也就是，從“右派”向“中間派”靠攏。邏輯實證主義者，尤其是哲學家卡爾納普，表現了這樣一種傾向。卡爾納普將數學視為一種語言，將數學真理視為由語言中的約定而來的真理。為了描述這個世界，我們不得不使用一種語言。採納一種語言，也就是採納了一個描述世界的概念框架。在卡爾納普看來，這包括選擇一些語言表達方式，選擇談論某些事物，也包括接受一些關於這些事物的基本假設作為約定的真理。

[4]

比如，我們原始的談論物體顏色的方式，可能只是將表達顏色的詞作為形容詞，說“這是紅的”等等。但是，為了更方便地描述物體的各種不同的顏色屬性，我們會選擇將“紅色” 等表達顏色的詞作為名詞來用，而說“紅色是暖的，而藍色是冷的”等等。這樣，“紅色”就似乎指稱某個個體事物，似乎有“紅色”這樣一個東西作為一個個體事物存在，就像桌子、椅子那樣的物體一樣，而且它還有某些屬性，比如它是“暖的”。同樣地，我們原始的使用數詞的方式也許只是像在“太陽系有9個行星”中那樣，並不用數詞來指稱任何物件，但為了在某些場合下的方便，我們也選擇了說“太陽系中行星的個數=9”。這樣也就將“9”用作一個專有名詞，似乎“9”也指稱某個個體事物，某個自然數。同時，我們也談論自然數的屬性、關係，就像談論物體的屬性和關係。這就是選擇了談論自然數的語言框架。這包括將數詞用作專有名詞，談論自然數這一類物件極其屬性、關係，談論所有的自然數具有某種屬性，或有些自然數具有某種屬性等等，還包括接受一些關於自然數的最基本的假設，即關於自然數的公理。

有些哲學家質疑自然數是否“真的存在”，因為如果它們存在的話，它們將不是存在於時空之中，它們將是獨立於物質世界的一些物件，彷彿是存在於另外一個宇宙中的事物。卡爾納普認為，說自然數存在只是意味著我們選擇了談論自然數的語言框架，即將數詞用作專有名詞等等。一旦選擇了將數詞用作專有名詞，自然數的存在就是語言約定的結果。選擇了談論自然數的語言框架後，我們可以問：“存在著9與13之間的素數嗎？”等這樣一類問題。卡爾納普稱這一類問題為“語言框架的內在問題”。它們是在選擇了自然數的語言框架後，因此也就是約定了自然數的存在和基本屬性後，在語言框架的內部提出的。對它們的回答，要看它們能否從關於自然數的那些最基本的假設，即關於自然數的公理，邏輯地推匯出來。至於“自然數真的存在嗎？”這樣的問題，卡爾納普稱之為“語言框架的外在問題”。卡爾納普認為這樣的外在問題是無意義的，因為，一旦接受了自然數的語言框架，自然數的存在就是約定了的；而在接受這個語言框架之前，根本就沒有“自然數”這個概念，因此這個問題也提不出來。卡爾納普認為，對於語言框架的選擇，我們只能問它的實際效果如何，它的簡單性，便利性如何等等，而不能去問這樣一個語言框架是否真正地對應於語言框架之外的某種意義上的“實在”，比如，不能去問我們關於自然數的判斷是否符合某些存在於獨立於物質世界與我們心靈的數學世界中的物件。

現代科學選擇了現代數學的語言，這包括集合的概念和關於集合的公理等等，也包括在這些基礎上定義的各種數學結構。所以依卡爾納普的解釋，數學定理，作為由這些公理邏輯地推匯出的結論，也是依這個語言框架的選擇為真的。前面提到，弗雷格的失敗，在於數學的內容似乎是超出純邏輯真理的。所以弗雷格遺留下的問題依舊是，這些數學真理的基礎是什麼？卡爾納普的回答是，這些數學真理是語言約定的結果。選擇一種語言框架，包括了假設某些物件，而且包括接受關於那些物件的一些基本假設。這些都是有特定內容的，都超出了純邏輯真理的判斷，但是，我們不能問它們是否是對某種超出語言約定的客觀實在的準確描述，而只能問整個語言約定本身是否有效、便利、簡單等等。

上面第一小節中曾提到一種觀點，認為數學公理只是假設，數學家只是從這些假設的前提推匯出定理。卡爾納普所說的聽來與此相似，但有一個實質性的差別。考慮一個像“假如A，那麼B”那樣的斷定由假設A可以得出結論B的陳述。當我們將它用於實際中時，我們必須驗證一下A是真的，然後才能得出B。對於卡爾納普來說，一種數學語言，包括其中的數學概念與公理，是我們認識世界所必不可少的整體上的概念框架。我們將其應用於實際中時，不再驗證其中的公理是否為真，因為它們是我們在採納這種語言框架時就已經接受了的。同樣，在科學中，提出一個特別的假說是為了解釋某種現象，因此我們要去檢驗一個假說。但是，要表達任何科學理論，包括表達對任何科學假說的檢驗，都必須先有一種語言，包括先有語言所蘊含的概念框架。這樣一種語言和概念框架不同於一個個單獨的科學假說。它是先於任何科學假說的，不能像科學假說那樣被檢驗，因為任何檢驗都預設了這個語言和概念框架本身。當然，卡爾納普承認，我們可以問這樣一種語言和概念框架在總體上是否有效、便利、簡單等等。

還可以將卡爾納普的回答與康德的思想相比較。康德也是將數學真理置於邏輯真理與事實真理之間，也是將數學真理視為我們認識世界的前提，而不能被經驗檢驗的。但是，康德是想透過假設我們認識世界的官能有某種先天結構，或先天認知形式，來直接地回答數學真理是如何為真的，以及我們實際上是如何認識這些真理的。我們前面已經提到，康德的這種思想的困難是，它無法解釋現代數學中那些關於超窮的抽象數學物件的真理。尤其是，我們對這些現代數學公理的認識，是在實踐中經過嘗試得到的，似乎不是由我們的先天認知形式決定的。卡爾納普是用語言框架的選擇來代替對我們的先天認知形式的假設。語言框架的選擇是後天的事情，是我們科學實踐中的事情，具有一定的靈活性，而且是經過一些嘗試、錯誤、再嘗試的結果。比如，從十九世紀開始，數學家們嘗試將數學分析嚴格化，由此最終導致二十世紀被普遍接受的集合論語言。這樣，一方面，卡爾納普接受了數學真理有著超出純邏輯真理的內容但又有別於普通的經驗真理這樣一個事實，另一方面他又試圖迴避康德所作的工作，或者說試圖嘗試與康德不同的解釋。他不回答這些數學真理的基礎究竟是什麼，我們是如何認識這些真理的，而是反過來說這些真理只是我們作的語言上的約定。這些約定是我們嘗試的結果，而且，從實用的角度我們可以評價這些約定是否有效、便利、簡單等等，但是，卡爾納普認為，詢問這些約定是否對應於超出這個語言框架之外的實在是無意義的，因為這個語言框架已經是最基本的東西了。任何有意義的問題都要在一個語言框架中來問。

從我們前面的分析看，卡爾納普的這種策略，似乎是我們所面臨的困境的一個自然的結果。但是，我們應該清楚，這種策略是僅僅是對困難的迴避，還是對數學真理的最好的解說。這裡，實質性的問題是，卡爾納普沒有對一個語言框架為什麼會比另一個語言框架更有效、便利、簡單作進一步的解釋。有效、便利、簡單等等，只是對工具的使用效果的描述，而不是對工具的內在機制的描述。在日常生活中，當我們說一個工具是有效、便利、簡單時，我們都相信這有它內在的原因，由這個工具的內在結構與規律性，由它的內在工作原理，由它與它所使用的物件在某種意義上的符合決定。即使數學語言、數學定理僅僅是工具，即使數學定理本身沒有真理性可言，數學在自然科學中的廣泛適用性也應該有個原因。卡爾納普的本意是想回避哲學家們無謂的形而上學的玄想。這與邏輯實證主義尊重科學反對形而上學的一貫思想是一致的。但是，按我們的理解，這裡對數學語言的廣泛適用性的內在原因的探求不是形而上學的玄想。相反，它是像現代認知科學中探索我們人類究竟如何認識世界一樣，探索我們人類的數學概念和知識的來源是什麼，我們人類的數學概念和知識是如何對應於世界的，如何能在科學中有廣泛的應用。問題的起點是一個科學問題，尤其是一個認知科學的問題，而不是一個卡爾納普所理解的形而上學問題。用卡爾納普的“內在問題”與“外在問題”的區分，它是一個“內在問題”。

比如，我們可以對一個科學命題問同樣的問題，比如牛頓引力定律。我們也可以問，這個命題的真理性基礎是什麼，我們是如何認識它的，對它的認識如何帶來效果、便利、簡單性等等。這裡我們也接受了一個概念框架，包括談論物體、力等等。然後，我們可以考察我們的大腦是如何透過感覺器官與物體、力等等相聯絡，從而認識物體、力等等。我們可以考察我們關於物體、力等等的判斷是如何符合物質世界中的實情。然後，我們可以用這種符合，即真理性，來解釋我們如何成功地利用這些知識。這些都是在接受了這個概念框架之後的考察。在這種探索中，我們有了我們的大腦如何認識關於物質世界中的事物的真理和如何有效地利用這些真理的一個圖景。在這種探索中，我們也認識到，我們可以約定我們的詞的用法，比如可以將表達顏色或表達力的詞用作名詞，但是我們也意識到，有實質性內容的判斷是不能約定的。比如，雖然我們將表達顏色的詞用作名詞，因此在這種意義上我們約定了一個顏色也是某種個體事物，但是我們很清楚我們不能約定有無窮多種不同的顏色。同樣，我們接受了談論物體、力等等的語言，但是究竟有多少種力、有多少個物體不能是依約定而真的。這些當然都是在接受了一個概念框架之後的探索和認識。所以，在這種探索中，我們也得到了某些事物、某些真理是獨立於我們的思想的這樣一個認識。所謂的“獨立於我們的思想”，也是在經驗範圍之內，或在我們所接受的概念框架之內的概念，是將人看作自然界的一部分，而說自然界的另一部分相對獨立於人的思想。這並不是形而上學的玄想。同樣，我們也得到了語詞上的約定不能包含對世界中的物件有實質性內容的判斷這樣一個認識。概括地說，我們可以在我們的概念框架之內考察我們自身如何認識關於物質世界的真理以及如何利用這些真理，由此我們有了關於我們自身的認知活動的一個圖景，其中既顯示了我們的大腦是如何與物質世界相聯絡，以認識關於物質世界的真理，又顯示了物質世界是獨立於我們的大腦這樣一個事實，還顯示了我們認識的真理是如何有用的。

然後，假如我們依卡爾納普的建議，將數學物件與真理視為一種語言上的約定，那麼我們可以進一步反思我們自身作為自然界中的生物的語言與認知活動，也就是在我們已經接受了的概念框架之內，考察我們的數學語言本身。畢竟人類接受某種概念框架本身也是一種自然界中的現象。當然，我們不否認對這樣的現象的考察本身也是在一個概念框架中進行的。首先，我們自然地將數學物件與物質世界中的物件相比擬，由此得到的困惑是，我們如何能斷定或約定有無窮多個數，無窮多個集合，而不能約定有無窮多種力、無窮多個物體？同樣地，我們無法像解釋如何認識引力定律那樣，描述我們的大腦如何透過某種器官與無窮多個自然數或超窮集合相聯絡，從而獲得關於它們的知識。然後我們想到，卡爾納普的本意也許是說，我們關於數學物件的約定，是與其它場合我們所理解的關於語詞使用的約定完全不同的一種型別的約定。在這種約定中，我們可以約定一些有實質性內容的真理，然後我們去嘗試看這些約定是否帶來成功、效率、簡單性等等，而不再去問大腦與那些約定的物件是如何相聯絡的。但我們依舊有一個問題：為什麼這些約定會帶來成功、效率、簡單性等等？它的內在原因是什麼？是什麼內在機制決定了這些約定會帶來成功、效率、簡單性？對於我們所認識的牛頓引力定律為什麼帶來成功、效率、簡單性我們有一個自然的解釋，即它符合物質世界的實情。而如果那些數學公理是約定的，而有些約定並不帶來成功，這個問題就變得更迫切。

所有這些問題，都是卡爾納普意義上的“內在問題”，不是形而上學的玄想。是在這個概念框架之內產生的對我們自身的語言使用與我們的認知能力的困惑。卡爾納普沒有回答這些真正的問題。他只是描述了我們的數學語言的使用結果，而沒有對數學語言為什麼有效、便利、簡單作進一步的解釋。完全拒絕進一步解釋的可能性是不合理的。在從事任何研究中我們當然都不得不使用我們的大腦，但這並不等於說我們不能用我們的大腦來研究大腦自身，研究我們自身是如何獲得知識的。同樣，我們應該也可以在一個概念框架之內問這個概念框架是為什麼有效。至少，對於我們關於物質世界的知識，我們有一個概念框架之內的答案。更重要的是，如果再考慮到數學家們和科學家們對數學概念和公理的選擇顯然不是任意的。他們顯然不是隨機地選擇一些概念和公理作為我們的語言框架然後試圖用於科學。再考慮到數學概念和公理在直觀上有它們的自明性。因此，很自然的想法是，如果我們要深入地探索數學在自然科學中的廣泛適用性的內在原因，結論有可能是：數學公理是對某種獨立於我們的實在（即數學世界）的真實描述。當然，這不是必然的結論，但這恰恰是卡爾納普需要證明的。

這是我們認為的卡爾納普的約定主義的主要問題。如果弗雷格的計劃可以實現，那麼它沒有這個問題，因為數學定理的真理性就在於它們是純邏輯真理，因而是對任何事物的真實的描述。它們帶來效果是因為它們與外部事物符合，而它們帶來便利、簡單性，是因為它們是一些非常複雜的邏輯真理的簡單表述。如果康德的思想可以推廣到現代數學，它也沒有這個問題。這與卡爾納普的回答有細微的區別，因為它斷言了數學是對任何我們可能認識的世界來說都是必然的真理，而不是多少有些隨意的約定，因此數學的應用效果是由它的真理性決定的，不再需要別的解釋。卡爾納普將數學解說為後天的約定。這回避了現代數學對康德的思想的挑戰，但是，既然是後天的約定，既然約定有有效的、有不有效的，我們自然需要一個解釋，為什麼有效、為什麼不有效。

當代哲學家中對卡爾納普的批評主要來源於兩個方向：著名的邏輯學家哥德爾的批評側重於強調數學的真理內容其實要超出任何可能的語言約定；哲學家蒯因則強調在所謂約定的真理和事實的真理之間沒有明確的界限。我們這裡給出的對卡爾納普的約定主義的問題的分析稍有不同，但我們認為這才是約定主義的真正問題。

事實上，這裡對卡爾納普的分析也適用於哲學家蒯因的觀點。

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蒯因的哲學觀點常常被拿來與卡爾納普的觀點相對照，因為他是從批評卡爾納普開始他的主要哲學思考的。但從我們看來，實際上他與卡爾納普，尤其是與後期的卡爾納普，相似之處遠遠大於差別。蒯因對卡爾納普的批評主要強調，在所謂約定的真理和事實的真理之間沒有明確的界限；同樣，在所謂先天的與後天的、分析的與綜合的真理之間也沒有明確的界限。由此，蒯因所給的關於我們的知識的圖畫是：我們用包括邏輯、數學和自然科學的整個信念的網路來應對自然；邏輯真理、數學真理與自然科學真理一樣都是由經驗決定的；邏輯、數學和自然科學的區別是，邏輯和數學是處於我們關於自然的信念的核心，是我們最強的信念，而當我們在應對自然中遇到問題，因此需要修改我們的信念時，我們總是從修改外圍的信念開始，而保持核心中的邏輯和數學。在蒯因看來，邏輯和數學也不是絕對不可修改的。我們的整個的信念網路在整體上受到經驗的制約。這個圖景看起來與卡爾納普所描畫的不同，但要點是，蒯因同樣不回答我們的數學信念是否是對某個獨立於我們的數學實在的真實描述。相反，在他看來，我們不能脫離理論去問哪些物件真的存在，而只能問一個理論承諾了哪些物件存在。既然數學在科學中有著必不可少的應用，科學就承諾了數學物件。所以蒯因同樣是從數學和自然科學整體上的成功來說明數學的真理性。蒯因所提出的對數學物件存在的論證是所謂“整體論”，即數學與科學整體上成功，科學承諾數學物件，因此恰恰在這種意義上數學物件存在。

對我們來說，重要的是蒯因也沒有回答為什麼數學會有用，而只是說“既然數學有用，它就是真的了”。當我們將我們自身的科學活動（或蒯因所說的應對自然的活動）當成自然現象來考察時，對於我們的關於物質世界的信念為什麼有用，我們可以有一個自然的解釋，即我們的大腦中的信念是正確地反映外部物質世界的實情的。這也包括解釋我們的關於一些不可觀察的物體的信念，比如關於原子、電子的信念，是如何有用的。這當然是在自然科學框架內的解釋，是假設了外部物質世界存在，包括不可觀察的物體存在，假設了科學的真理性後的解釋。是物理學加上認知科學的解釋。這與蒯因所提倡的所謂“認識論自然化”是一致的。而對於數學，我們的問題是，假如將數學物件看作是像原子、電子那樣的獨立於我們的大腦的物件，那麼我們不能描述我們大腦，是如何與那些又是獨立於物質世界的無窮數學物件相聯絡，而獲得那些數學信念；而如果我們不用這種方式描述我們的數學信念與外部世界的聯絡，那麼我們就需要回答數學真理究竟是什麼，需要以另外的方式解釋數學為什麼有用。蒯因沒有提示任何解釋，而只是描述了數學有用這個結果，然後說，既然有用，它就是真的了，而且數學物件也就存在。這只是給一個謎貼了一個標籤，起了一個名字，並不是解開了那個謎。

在自然科學中，我們並不用這種“整體論”的方式來證明某些事物存在。比如基本粒子，它們存在是因為它構成了原子，原子發射光子到我們的視網膜，最終使我們認識到它們。當然，這個圖景中有許多是科學假說，但它們是被科學充分驗證的假說，所以按蒯因所提倡的所謂“認識論自然化”的理念，這是哲學家們所應當接受的。這裡的要點是，即使像基本粒子那樣離我們最遙遠的事物，我們也有一個直接的圖畫，描述我們的大腦如何獲得關於它們的知識，以及關於它們的知識將如何有用。在自然科學中，當我們不能明確地描繪出某些事物的存在時，我們只能將它們看作有待進一步探索的假說。比如，DNA及其作用被發現前，遺傳基因的存在是不確定的假說。我們當然不能說數學物件的存在也是這樣的不確定的假說，因為數學真理似乎是確定和明顯的。對於數學物件，我們真正的困難是，一方面，數學公理似乎明顯地是關於那些抽象的無窮數學物件的真理；而另一方面，我們又不能描述我們的物質性的大腦是如何獲得那些真理的；而如果我們拒絕將數學公理看作是關於那些獨立於我們的抽象的無窮數學物件的真理，我們又沒有其它明顯的對數學的真理性和可應用性的解釋。對這個疑問，“整體論”，以及由數學有用得出數學物件存在的論斷，沒有提示任何解答。

7 回到數學是一種科學：哥德爾的概念實在論

哥德爾是繼弗雷格之後的最偉大的邏輯學家。他證明的不完全性定理深刻地影響了我們對數學的本性的認識。前面提到，由於數學定理有著超出純邏輯真理之外的內容，弗雷格的計劃不能實現，因而卡爾納普將數學公理視為我們的語言上的約定。基於不完全性定理，哥德爾指出，數學真理的內容甚至要超出我們任何可能的語言約定，因此卡爾納普的約定論，不能真實地描述數學真理。由此，哥德爾進一步認為，數學定理確實是關於一個獨立於物質世界、也獨立於我們的心靈的數學世界的真理。就像物理學研究這個宇宙中的物質，探索關於這個宇宙的客觀真理一樣，數學研究另外一個世界中的物件，探索關於那個世界的客觀真理。在這個意義上，數學與自然科學是相同的，雖然它們的物件不同，而且方法也有差異。要點是，它們都在追求客觀真理。

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所以哥德爾是正面肯定了導致關於數學真理性的困惑的一個前提，因此他必須回答我們究竟是如何認識數學真理的。

哥德爾的不完全性定理及其導致的對約定主義的反駁可以這樣通俗地解釋：

[7]

我們回憶一下，接受一種數學語言框架意味著接受一些作為最基本的約定的數學公理，比如集合論的公理。然後，約定主義聲稱，數學真理就是由這些公理可以推匯出的定理。由於數學公理可以歸為有限的那麼幾類，可以證明，由數學公理可以推匯出的所有數學定理的集合就有一種相對簡單的結構，邏輯學中稱為“遞迴可列舉的”。直觀地說，這意味著原則上可以設計一個計算機程式，將所有的從公理可推匯出的定理一個一個地輸出來，沒有遺漏。（但是，如果一個數學命題是不能從公理推匯出的，我們無法預先知道它將永遠不會被這個程式輸出。因此這個程式不能在有限步內斷定一個命題是或者不是定理。）另一方面，如果我們假設任何一個數學命題非真即假，那麼所有數學命題的集合將一分為二成真命題的集合與假命題的集合，而且，一個命題在其中一個集合中，當且僅當它的否定在另一個集合中。哥德爾的不完全性定理實際上證明了，由於這樣的特點，所有真命題的集合有著相對複雜的結構，要比由所有從公理可推匯出的定理組成的集合，在本質上更復雜。特別地，它不是“遞迴可列舉的”，也就是說，原則上不存在一個計算機程式，它能夠將所有的真命題一個一個地輸出，沒有遺漏。直觀上這也不難理解：從公理可推匯出的定理的集合，是從有窮多類的公理在有限步內用推理的方式產生出來的。它有數學中常見的所謂“有限生成”的特徵。另一方面，真命題的集合是用“真”這個抽象概念定義出來的，它沒有那種“有限生成”的特徵。當然，這只是直觀的解釋。在數理邏輯和哥德爾的不完全性定理中，對這些有數學上嚴格的定義和證明，包括如何嚴格地定義數學命題的集合，如何嚴格地刻畫定理的集合，以及刻畫真命題的集合與定理的集合的這種本質上的差異，等等。回到約定主義，這意味著，假如我們承認一個數學命題非真即假，而且假如我們又將“數學真理是依約定為真”理解為數學真理就是由約定的公理可以推匯出的定理，那麼它在技術上是錯誤的，因為所有真命題的集合要嚴格地大於定理的集合，而且與定理的集合有著本質上不同的、更復雜的結構。換句話說，任何約定不能窮盡數學真理。

哥德爾的不完全性定理的一個推論是，一定有些數學命題P，使得P是真的但不能由公理推匯出來；同樣地，“並非P”就是假的，但不能由公理被反證。這樣的命題稱為獨立性命題，即P和“並非P”兩者都不能由作為約定的公理推匯出。它們是獨立於我們作為約定的公理的。這裡我們必須指出，用這個不完全性定理來反駁約定主義有一個前提，即任何數學命題非真即假，包括那些獨立於我們的約定的命題。這實際上也就是假設了，一個數學命題有著獨立於我們的認識的真假，表達了某個客觀上的真理或謬誤。約定主義者可能會拒絕這個前提。他們可能會說，一個數學命題P是真的，指的就是P可以由作為約定的公理推匯出；P是假的就是指“並非P” 可以由作為約定的公理推匯出。假如P是獨立於我們作為約定的公理的，也就是說假如P和“並非P”兩者都不能被推匯出，那麼P就既不真也不假。這應該是與約定主義者的精神更一致的。所以，這種對約定主義的批評，並不是證明了約定主義有內在的、嚴格的矛盾。它是在一個反約定主義的假設之下，說明約定主義與這個假設相矛盾。

由哥德爾的不完全性定理還可以得出一個具體的獨立性命題，由此也有對約定主義的一個更具體的反駁：一旦我們接受了一些公理作為數學語言的約定的基礎，我們應該相信這些公理是互相之間沒有矛盾的。在數理邏輯中，我們可以將“這些公理是無矛盾的”這樣一個論斷本身表達為一個數學命題。哥德爾的不完全性定理的一個結論是，這樣一個斷定一些公理的無矛盾性的命題，恰恰是相對於那些公理的一個獨立性命題。也就是說，無論你選擇哪些公理作為數學語言的約定的基礎，斷定這些公理的無矛盾性的命題，恰恰不能從這些公理本身推匯出。既然我們接受了那些公理，直觀上我們當然相信這些公理的無矛盾性。因此，一個推論就是，我們直觀上把握的數學真理，是超出任何一些作為數學語言的約定基礎的公理的。換句話說，一旦認識了一些公理，我們直觀上也就認識到了這些公理之間的無矛盾性，而這是獨立於那些公理的新的認識。

但這也不是真正地駁倒了約定主義者。從約定主義者的角度看，這僅僅意味著，一旦我們選擇了一些約定的公理，並且在實踐中看到了這些語言約定帶來的效果、便利性和簡單性，尤其是看到了它們沒有產生什麼矛盾，那麼有必要的話，我們很自然地可以進一步將這些公理的無矛盾性作為新的約定，並期待這新的約定也會帶來效果、便利性和簡單性。至於這個無矛盾性判斷本身是不能從原先的約定中推匯出的，這並不重要。約定主義者並不要求一次選擇的約定就是完備的、包羅永珍的，不再被改進的。既然對於語言約定我們只能問它的效果、便利性和簡單性，既然我們是在嘗試中修改我們的約定的，就沒有理由要求，最初的一些約定可以推匯出它本身是無矛盾的。這個狀況確實說明，接受一種語言框架會蘊含著接受一些關於現實世界的信念，比如相信我們從這個語言框架的基本假設中不至於推匯出矛盾來。但是，這本身並不蘊含著要接受完全客觀的、獨立於任何語言框架的數學真理。

這裡很重要的是，約定主義者必須否認一個語言框架（或一個公理系統）的理論上的無矛盾性本身是有完全客觀的、獨立於任何語言框架的真理性的。換句話說，約定主義必須是徹底的。用哥德爾的不完全性定理來反駁約定主義，實際上是預設了一個反約定主義（或不徹底的約定主義）的前提，即：一個語言框架（或一個公理系統）的理論上的無矛盾性有著獨立於任何語言框架的客觀真理性。這樣一個預設的前提常常逃過了我們的注意，因為表面上看它不是一個數學命題，不是一個關於抽象數學物件的判斷。但我們要仔細區分兩個完全不同的判斷：（1）在現實世界中，我們這些生活在地球上的人將不會從這個語言框架的基本假設中推匯出矛盾；（2）這個語言框架理論上是無矛盾的。前一個判斷當然是關於事實的判斷，但後一個判斷實際上是一個數學命題。它指的是，任何抽象的、任意長的數學證明，都不能從這個語言框架的公理推出矛盾。要點是它假設了無窮。既然對於約定主義者來說，數學中關於無窮的真理都是相對於某個語言框架的約定的真理，約定主義者不必承認命題（2）有著超出這些約定的客觀真理性。哥德爾的不完全性定理只是說（2）恰好是獨立於這個語言框架的。約定主義者可以承認，既然接受了這個語言框架，就很自然地可以接受（2），但他們無需承認命題（2）有著超出這個語言框架的客觀真理性。至於命題（1），它實際上是我們在實踐中漸漸接受這個語言框架的同時漸漸地產生的信念。對於約定主義者來說，並非相信（2）的超出這個語言框架的客觀真理性是相信（1）的理由，而是相反，我們在實踐中漸漸產生的關於（1）的信念，才是我們採納這個語言框架，並可能由此進一步接受（2）作為約定的一部分的部分理由。

總之，假如約定主義者是徹底的、自我一致的，假如一開始他們就不承認數學命題是在描述一個獨立於物質世界、獨立於我們心靈的客觀的數學世界，因此也不承認一個數學命題在這個意義上非真即假，那麼由不完全性定理得出的對約定主義的反駁，就沒有正面地駁倒約定主義。它實際上是以另一種方式揭示了本文一開始提到的關於數學真理性問題的困惑：一方面，我們似乎是在談論著一個獨立的數學世界，而且我們似乎有著一個數學命題對於那個獨立的數學世界中的數學物件為真這樣一個“真”概念；另一方面，我們又只能從有限個公理在有窮的步驟內推導定理。不完全性定理揭示了“真命題”的集合與定理的集合之間的本質上的差異。但是，不完全性定理本身也是從那有限的幾條已知的公理推匯出來的，而且事實上，自從大約一百年前現代數學的基本公理被確定下來後，最基本的數學公理從來沒有什麼實質性的增加或修改。因此，我們會問，我們果真有那個相對於一個獨立的數學世界的“真”概念嗎？也許從一開始那只是幻覺。

要更深入地探討這個問題，一方面，從約定主義的角度，就要回答為什麼一種約定會帶來效果、便利性和簡單性。這也包括回答我們為什麼相信一種約定是無矛盾的。上一節我們指出了，卡爾納普沒有回答這個問題。這是卡爾納普的約定主義的真正缺陷。另一方面，要正面地對哥德爾的數學觀作辯護，就要回答我們究竟是如何認識那些關於無窮的抽象數學物件的真理的。

哥德爾是認真地在嘗試回答這個問題。哥德爾的晚年有數十年的時間是在思考這個問題，但是他自己認為他沒有得到很好的答案，他相關的思考也一直沒有正式地發表。哥德爾提到了兩種型別的對公理的認識。其一是基於我們對抽象數學概念的直覺。比如，對集合論的基本公理的認識，是基於我們對“集合”這一概念的數學直覺。哥德爾曾花了很多時間試圖對這種所謂的數學直覺作出合理的說明。他需要說明，我們的心靈是如何得到這樣的獨立於我們的心靈，也獨立於物質世界的客觀的概念。哥德爾認為，抽象數學概念是比科學中的概念更精確、更確定、更根本的概念。它們應該是整個科學的基礎。如果我們再一次與康德的思想相比較，我可以看到，一方面，對於哥德爾來說，抽象數學概念和物件是獨立於我們的心靈的，就像物質世界中的事物是獨立於我們的心靈一樣，因此數學真理不是由我們的認知形式本身決定的真理。同時，抽象數學概念和物件還是獨立於物質世界的，因此我們不是由感覺器官來認識抽象數學概念和物件的。而另一方面，他又要說明我們有某種直覺可以直接地認識到關於抽象數學概念和物件的真理，而且這種認識也應該是不依賴於我們對這個物質世界的經驗。至少應該像康德所說的我們對5+7=12那樣的算術真理的認識一樣：雖然兒童是透過學習才意識到這樣的真理，但是它們的真理性其實是不依賴於經驗的。透過這種比較我們也可以看出哥德爾所面臨的看起來是不可逾越的障礙。

哥德爾還提到了另一種型別的對公理的認識。對於有些缺乏數學直觀的公理，我們可以考察由公理所推匯出的定理。這裡，哥德爾主要是在考慮如何透過引進新公理來解決連續統假設問題。連續統假設已知是獨立於現有的集合論公理的。比如，假如一個由新的公理可以推出許多定理，而且這些定理看起來是合理的，有著許多成功的應用，而且其中有一些定理不用這個公理也可以證明但要用一些更繁瑣的方法，等等，那麼，哥德爾認為這就在一定程度上驗證了這個新公理。哥德爾認為，這與自然科學中透過驗證由一個非常抽象的理論假說推匯出的結論，來間接地驗證一個假說是一樣的。

這裡應該指出的是，僅僅有這一型別的對數學公理的真理性的說明是不夠的。它不能說明數學的確定性、普遍性和必然性，也不能解釋數學廣泛的適用性。反之，假如哥德爾對於數學直覺的探索能夠成功，然後以此作為補充，那麼我們確實就有了一個對數學的真理性基礎和數學的廣泛適用性的一個解釋。這裡，數學的有用性還是基於它與客觀實在的符合。但是哥德爾直到去世也沒能完成他的願望，而且我們也看到了其中巨大的困難。

8 探索還在繼續：新邏輯主義、物理主義、新自然主義等等

西方哲學家對數學真理性問題的思考，最近幾十年還在繼續著。總體上應該說還是沒有很好的答案。這些新的探索也呈現一些新的特點。比如，一些哲學家不再追求對什麼是數學真理這樣一個問題的整體上的回答，而區分不同層次的數學；有些還區分對數學命題字面意義上的理解和經過某種解釋後的理解。限於篇幅我們不能詳細地一一介紹，這裡只簡要地介紹評價其中的一些有代表性的觀點。

我們知道，弗雷格將整個數學還原為邏輯的企圖不能成功，但是一些研究者指出，如果限於初等算術，弗雷格的方法還是可行的。哲學家Crispin Wright等更進一步提出，這確實證明了至少算術真理是分析的真理。這是將算術真理的定位又擺回到了邏輯真理這一端。關於這一點學界有爭論

[8]

。這裡我們不評論這些爭議，只是指出，既然我們明確地知道，同樣的方法不能解說整個現代數學，我們也有理由認為，它有可能沒有抓住我們的數學知識的本質。當然，這並不是說數學的各個部分一定有某種共同的本質，而是說，對數學的一些領域的合理的解釋，應該至少能夠提示同樣的解釋在其它領域不合理的理由，由此也應該能夠提示，對其他的數學領域，怎樣的解釋才可能是合理的。在簡單的算術真理，與較複雜的初等數學分析的真理，直到離現實最遠的抽象集合論中的真理，它們之間有一個相對連續的譜系。如果算術真理截然地是分析的，而集合論的真理截然地不是分析的，我們顯然需要一種更深入的理解，來說明從算術到抽象集合論之間，數學真理的基礎是如何漸漸地改變的。

Steven Yablo以另外一種方式提出，算術真理就是邏輯真理

[9]

。他認為，在字面意義上，“2+3=5”似乎是在表達關於某種特殊的物件即自然數的一個判斷，但它有一個真正的內容，其意義是：“如果存在兩兩不等的x1，x2 是P，而且存在兩兩不等的y1，y2，y3 是Q，而且P與Q不相交，那麼存在兩兩不等的z1，z2，z3，z4，z5 是P或Q。”這相當於說：“如果2個事物有屬性P，3個事物有屬性Q，而且P與Q是不相容的屬性，那麼有5個事物有屬性P或Q。”這裡的要點是，改寫以後的句子，不再在表面上是關於自然數這樣一些特殊的物件的判斷，而是成了關於任意屬性的邏輯真理。我們知道，邏輯真理就是對任何物件和屬性都有效的真理，而“2+3=5”表面上僅僅是在陳述關於自然數的一個特殊事實。所以我們會感到困惑，這樣一個關於某種非物質的數學物件的真理究竟是些什麼。Yablo想以此說明，這樣的困惑是被算術判斷表面上句法形式迷惑了，而隱藏在背後的，其實是個邏輯真理。這與弗雷格的思路是一致的，不過Yablo用了表面上更簡單的邏輯手段，而不是像弗雷格那樣將數看成概念的概念。

但是，Yablo的這樣一種策略有一個重要問題。首先，為了將“對任何自然數m，m+3=3+m”這樣的算術真理翻譯成邏輯真理，用Yablo的話說，也就是為了要找出這樣一個算術命題的真正內容，我們必須先將它表達成一個無窮長的句子，即“0+3=3+0，而且1+3=3+1，而且2+3=3+2，…”然後再將其中的每一個簡單算術等式表達成像上面那個例子那樣的邏輯真理。結果也是一個無窮長的句子。如果我們要用類似的策略，將數學分析中的真理翻譯成邏輯真理，我們將要得到由不可數個符號組成的句子，因為有不可數個實數。Yablo斷言，這樣無窮長的句子還是表達一個邏輯真理。這當然要讓多數哲學家搖頭。更重要的是，這沒有解答我們關於數學真理性的困惑。這個困惑是，我們的由有限個神經元組成的大腦，究竟是如何可能認識那些無窮的數學物件的。我們的大腦裡顯然沒有這樣無窮長的句子，或某種意義上無窮長的思想，更不用說由不可數個符號組成的句子。事實上，到此為止我們也只用了由窮個詞來解釋Yablo的觀點。因此，事實上我們是用數學中表達和理解無窮的方式來表達Yablo的所謂的無窮長的句子，也就是將它們看成數學中的無窮序列。所以，我們如何能夠認識這種無窮長的真理的問題，也就是我們如何能夠認識無窮的數學物件的問題。Yablo將像“對任何自然數m，m+3=3+m”這樣的關於無窮多個自然數的命題翻譯成一個所謂的無窮長的邏輯真理，並沒有給回答這個問題作任何提示。

哲學家Hartry Field將數學的一部分解釋為關於物質世界的判斷，比如，將實數解釋為時空中的點，將初等數學分析解釋為關於時空中的點的順序和關係等等的判斷。這樣解釋以後，一部分數學就成了關於物質世界的客觀真理，與一般的自然科學真理一樣。Field希望證明，這一部分數學其實就足以為科學應用提供數學工具。

[10]

但是，為了解釋無窮數學，他假設了時空是無窮的。我們知道，依現代物理學，時空有可能是有限且離散的。更重要的是，數學的有效性和可應用性顯然不依賴於時空是有限還是無窮的。所以，這種嘗試顯然錯過了我們的數學知識的真正本質。

哲學家蒯因一直在提倡一種認識論的自然主義觀點。其要點是，哲學不能提供高於自然科學的認識論標準；哲學家對與科學活動中的認識論問題的思考，應該是自然科學的自然延伸，應該採用與科學家一樣的方法和標準；而且哲學家對科學活動的思考只能是描述性的，而不能是規範性的，即不能提出科學家應該做什麼。這是為了反對一些哲學家將哲學置於比自然科學更高的地位，而希望哲學能夠為自然科學提供基礎的傾向。當思考到數學問題時，蒯因由此得出的結論是，我們應該像科學家相信原子、電子存在那樣，相信數與集合等抽象數學物件存在，包括無窮的抽象數學物件存在。因為，現代數學是現代科學的一個部分，就像科學家為了解釋觀察到的現象必須假設原子、電子存在那樣，現代數學在現代科學中的成功應用，也使得我們必須相信它的物件存在。

但是，科學家們對數學物件的態度與他們對原子、電子的態度似乎實際上是不同的。科學家們很認真地考察證明原子存在的證據。他們會區分原子是真的存在，還是隻是一種有用的虛構。比如，在布朗運動現象被發現而且得到原子論的解釋之前，許多科學家還是認為原子論在化學中的成功只說明它是一種很有用的假設。只是在布朗運動現象得到原子論的解釋之後，科學家們才認為我們有了原子存在的充足的證據。但是對於數學物件，科學家們似乎只是使用它們，只關心它們是否帶來方便。比如，科學家們並不關心無窮集合是否真的存在，還是說談論無窮集合只是一種方便的語言表達方式。這種差別在蒯因的哲學中沒有表現出來。哲學家Penelope Maddy在這方面改進了蒯因的哲學。

[11]

她將數學與自然科學分開，認為數學家的方法論與自然科學的方法論有所不同。她描述了數學家，主要是集合論研究者們所採納的方法論原理，考察了集合論研究者們是如何依據類似於“簡單性”、“推論的豐富性”那樣的標準來選擇集合論的公理。在她的這種描述下，數學更多地像是一種工具，而不是某種知識或信念。因此她的哲學傾向其實更多的是卡爾納普的哲學觀點的深化，是對我們如何選擇作為語言約定的公理作了更深入的描述。但是，對於我們來說，重要的是，她依舊沒有回答我們前面提到的關於卡爾納普的問題，即為什麼一種數學語言是有用的，為什麼可以它在科學應用中帶來真理，它的內在機制是什麼，它的成功應用是不是說明了它表達了某種獨立於我們的客觀真理。

對於數學真理性問題的探索還在繼續著。我們期待將有更好的回答。

參考文獻

［1］ 類似的疑問最早是由P。 Benacerraf提出的。參見P。 Benacerraf： “Mathematical Truth”， 載於P。 Benacerraf & H。 Putnam （eds。）： Philosophy of mathematics： Selected readings， Cambridge University Press， 2nd ed。 1983。

［2］ 參見 G。 Frege， The Foundations of Arithmetic： A Logico-Mathematical Enquiry into the Concept of Numbers， translated by J。 L。 Austin， Oxford： Blackwell， New York。

［3］ 見D。 Hilbert， “On the infinite”， 載於P。 Benacerraf & H。 Putnam （eds。）： Philosophy of mathematics： Selected readings， Cambridge University Press， 2nd ed。 1983。

［4］ 見 R。 Carnap， “Empiricism， semantics， and ontology”， 載於P。 Benacerraf & H。 Putnam （eds。）： Philosophy of mathematics： Selected readings， Cambridge University Press， 2nd ed。 1983。

［5］ 參見 W。 V。 O。 Quine， From a Logical Point of View， Harvard University Press， 1953， Ontological Relativity and Other Essays， Columbia University Press， 1969。

［6］ 見 K。 Gdel， “What is Cantor’s continuum problem？”， 載於P。 Benacerraf & H。 Putnam （eds。）： Philosophy of mathematics： Selected readings， Cambridge University Press， 2nd ed。 1983， “Is Mathematics Syntax of Language？”， 載於 Kurt Gdel， Collected Works， Vol。 3。 Oxford， UK： Oxford University Press。

［7］ 不完全性定理有一些技術上的條件，比如所考慮的公理系統至少包含足夠的算術真理，同時又是所謂“可遞迴公理化的”。這些技術性條件在正常情況下都是成立的，所以為了通俗起見，我們在以下的敘述中將它們略去了。讀者可以參考數理邏輯方面的教科書，如Herbert Enderton， A mathematical introduction to logic。

［8］ 見Crispin Wright， Frege’s Conception of Numbers as Objects， Aberdeen University Press/Humanities Press， 1983， 與 “Is Hume’s Principle Analytic？”， 載於 Notre Dame Journal of Formal Logic， Vol。 41， no。 1， 1999。

［9］ 見Steven Yablo，： ‘Abstract Objects： A Case Study’， Nos 220-240（36）， 2002。

［10］ 見 Hartry Field， Science without Numbers， Princeton University Press， Princeton， 1980， ‘Which Undecidable Mathematical Sentences Have Determinate Truth Values？’， 載於 H。 G。 Dales and G。 Oliveri （ed。）， Truth in Mathematics， Oxford University Press，1998。

［11］ 見 Penelope Maddy， ‘Mathematical Existence’， http：//www。lps。uci。edu/home/fac-staff/faculty/maddy/ME%20-%20new。pdf， 2002

本文曾發表在《科學文化評論》2005年第4期，經作者授權發表。