四步解題法是一種行之有效的思維方法。當然，你不可能一下就完全掌握它的所有內容，但只要逐步熟悉了它的某些環節，對解題能力的提高也是頗有裨益的。

本節介紹“四步解題法”的第一環節的任務之一：“明確目標”。

所謂明確目標，就是確立解題的目標狀態，做到“胸有目標”，一切思考與推理都圍繞著目標而展開。

在數學解題中，明確目標並沒有得到人們的足夠重視。有的解題者甚至連題目都沒有讀完，就忙於作答；有的解題者雖然能先了解一下問題的結論，但不能從結論中充分獲取有關資訊去指導解題，總習慣於從條件出發，盲目進行各種推理或演算，這無異於瞎碰亂闖。到頭來，密密麻麻寫了一片，解題還是不得要領，導致解題的失敗。

我們看下面的例子。

例1、橢圓的一個焦點分其長軸的比為

，求橢圓的離心率。

【誤解】 設橢圓的長軸和短軸的長、焦距分別為2a、2b、2c，則依題意，有

=

①

做到此處，有些解題者抓不住變形方向，而是看到①式右邊含有根號，誤以為將根號去掉，可使運算簡單。於是，①式兩邊平方，得

=

，

去分母，得2（a+c） ²=3（a-c） ²。

展開、合併，得a²+c²-10ac=0 ②

由於解題者對變形的目標不明確，做到此處，便不知如何作下去，解題終歸半途而發。

反之，如果一開始就抓住目標，並且在變形中時刻注意靠近目標，那麼變形就會減少盲目性，能在茫茫的思緒中找到點燃勝利之光的火花。

實際上，本題的目標是要求出比值 c：a，這樣，在得到①式後，就應思考如何變形才能產生 c：a。也就是說，要設法由①湊出一些c/a來。

和上一篇介紹的2021年那個高考題一樣，這可從區域性突破：考察其中的字母“c”，湊出c/a，需要將其配上分母a，由此想到對分式的分子、分母分別除以a即可。

但為了使式子變得簡單，可先去分母化為整式，然後再實施湊配。

於是，由①得

（a+c）=

（a-c），

兩邊同時除以a，得

（1+e）=

（1-e），其中e=c/a。

解上述關於e的方程，即得離心率e=5-2

。

由此可見，變形中始終不忘解題目標是保證解題順利進行的重要條件。而且，即使開始時沒有注意到目標，走了一段“彎路”，但只要及時“抬頭看路”，把握前進的方向，還是能使解題重回正軌。

如本題，在得到等式②後，若尚能抓住目標c：a，則仍可找到正確的變形使解題通向成功。

實際上，②式兩邊同時除以a²，得1+e²-10e=0。再根據0

，即得正確答案：e=5-2

。

也可視②中的c為常數，解關於a的一元二次方程，得出 a與c的關係；或運用比例性質亦可求出c：a。

總而言之，本題不管採用什麼解法，都使我們看到解題中明確目標的重要性。如果解題者對解題目標胸中無數，就會盲目地對條件進行變形，這就很難匯出有用的結果。即使一些有用的結果產生了，也會因目標不確而失之交臂。

我們再舉一個例子。

例2、已知cosα+cosβ=a ①，sinα+sinβ=b ② ，

求cos（α+β）。

【誤解】目標為：cos（α+β）=常數。

一些同學看到這個目標，馬上聯想到相似知識，將目標狀態變為：

cosαcosβ-sinαsinβ=常數。

而題設條件中含有sinα、cosα、sinβ、cosβ，又想到利用公式：

sin²α+cos²α=1，sin²β+cos²β=1。

於是，①²+②²，得2+2sinαsinβ+2cosαcosβ=a²+b²，

由此得cos（α-β）=（α²+b²-2）/2 ③

注意到③中的cos（α-β）與目標cos（α+β）相差一個符號，由此想到調整原有變形，由①²-②²，得

cos²α-sin²α+cos²β-sin²β+2cosαcosβ-2sinαsinβ=a²-b²，

由此得cos2α+cos2β+2cos（α+β）=a²-b² ④

至此，似乎無法消去上式中的“cos2α+cos2β”，仍無法求出cos（α+β）。

這樣，解題者便懷疑原有思路的正確性，從而別開上述結果，重新進行嘗試：

①×②，得sinαcosα+sinβcosβ+cosαsinβ+cosβsinα=ab，

即（sin2α）/2+（sin2β）/2+sin（α+β）=ab ⑤

此式與目標相距更遠！這樣，便不知如何做了。有的解題者甚至還嘗試著考察①+②，①-②等等，真是使盡渾身解數，還是收效甚微。

究其失敗的原因，是解題者未能把握住解題目標的本質，對有用的資訊未能產生有效的反應。

正確的解法如下：

【分析與解】首先，本題的目標狀態是：cos（α+β）=常數。

一般地說，我們的眼光不能囿於原始目標這個點上，而應該在更寬泛的範圍去理解目標，我們將這個“寬泛的範圍”稱之為面，目標狀態稱為點，透過以面帶點，準確地把握目標的特徵。

對於本題，其目標可理解為：關於角α+β的一個三角函式值（不一定求餘弦，得到其它三角函式值是可以轉化為餘弦的）。

在這種理解下，自然想到在條件中設法構造角α+β，這才是正確的把握了目標。瞄準這一目標，變形就變得清晰而自然了。

為構造角α+β，自然想到①、②兩式左邊和差化積，得

2cos

cos

=a，2sin

cos

=b。

與目標比較，只需消去cos

。於是，兩式相除，得

tan

=

。

現在再瞄準目標，發現只需將目標中的“α+β”轉化為“

”，將餘弦轉化為正切，即可利用這一中間結果。

這很容易聯想到相似知識：能同時實現這兩個轉化的公式是“萬能公式”——cos（α+β）=

，其中t= tan

。

於是，cos（α+β）=

=

=

。解題順利獲得成功。

同上例一樣，即使開始時走了一些彎路，但只要及時瞄準目標：構造角α+β，便可以使解題重回正軌。

比如，前面得到④式後，已經產生了角α+β，只需將剩餘部分的cos2α+cos2β也轉化為角α+β的函式即可。

由此想到和差化積，於是④可變為

2cos（α+β）cos（α-β）+2cos（α+β）=a²-b²。⑥

將⑥與目標比較，發現只須消去cos（α-β）。這利用等式③，問題便可獲解。

由以上兩個例子可以看出，如果我們解題中能瞄準目標，並能準確地把握目標，則思維就會變得非常具體，變形或推理就具有目的性和對對性，也就可有效避免一些不必要的演算或推理，使解題順利走向成功。

一旦解題遇到困難，甚至發現自己在“繞圈子”，那麼，你首先應考慮的問題是“我究竟在幹什麼？”也就是說，你應該停下來，靜心地想一想你所做的工作是否對準了你的目標？目標是否正確？能否更換一個目標？當你一旦發現自己的行動與目標的差距時，你就會恍然大悟，找到正確的解題途徑了。

我們看一個邏輯方面的例子。

例3、某國有說謊和說真話的兩種人，說謊者句句謊言，說真話者句句為真。在一次閒聊中，A說B和C兩人都說謊，而B矢口否認，但C說B確實說謊。試問這三人中究竟有幾人說謊？

請你先思考一下，本題的目標是什麼？然後再試試能否得到正確答案。

在解決這類邏輯問題時，通常應把所有可能的情形列成表格，以便從表格揭示的各種關係中找到解題途徑，也許你對眼前這道題也作了類似的嘗試吧？但你決不會成功，因為你這樣來解題時，已經把題目的目標改變了！

實際上，原題的目標是判斷三人中有幾個人說謊，而不是判斷誰在說謊，透過這一提示，你也許能找到問題的答案了。

儘管我們不能判斷B、C誰在說謊，但可以斷定他們兩人中恰有一個人說謊，這是因為他們兩人的話是對立的，不能同真或同假。由此還可推斷A的話為假，因為B和C不可能都說謊。於是，本題的答案是：三人中恰有兩人說謊。

但是，除可斷定A說謊外，B、C兩人誰究竟說謊？根據本題的條件是無法確定的。如果你立足於討論誰在說謊，那麼你就永遠也找不到答案。

由此可見，隨意地改變問題的目際，儘管你認為他們之間無多大差別，甚至幾乎是一致的，都可能使問題面目全非，這就充分說明了正確把握目標的重要性。

那麼，解題中怎樣才能準確地把握解題目標呢？對此，我們將在後面的文章中詳細介紹。

【一點說明】 所有文章

免費

閱讀，謝謝轉發、分享。

競賽學生

可在微信中關注“躍峰奧數”

公眾號

；

高考學生

可在今日頭條中關注“躍峰奧數”

頭條號

，閱讀相關文章。