一、概述

目前，開發出一種技術，透過明確地考慮多種投入（即資源）的運用和多種產出（即服務）的產生，利用線性規劃的方法，用來比較提供相似服務的多個服務單位之間的效率，這項技術被稱為資料包絡線分析（DEA）。

二、特點及應用

1。適合用於多輸出-多輸入的有效性綜合評價問題，在處理所輸出-多輸入的有效性評價方面具有絕對優勢

2。應用DEA方法建立模型前無需對資料進行量綱化處理

3。無需任何權重假設

比如，可以用於對各省發展狀況進行評判、企業管理者評估一所快餐分銷店、銀行支行、健康診所或初等學校的生產力等

三、演算法詳解

DEA是一個線形規劃模型，表示為產出對投入的比率。透過對一個特定單位的效率和一組提供相同服務的類似單位的績效的比較，它試圖使服務單位的效率最大化。在這個過程中，獲得100%效率的一些單位被稱為相對有效率單位，而另外的效率評分低於100%的單位本稱為無效率單位。

1） 定義變數

設Ek（k=1，2，……， K）為第k個單位的效率比率，這裡K代表評估單位的總數。

設uj（j=1，2，……， M）為第j種產出的係數，這裡M代表所考慮的產出種類的總數。變數uj用來衡量產出價值降低一個單位所帶來的相對的效率下降。

設vI（I=1，2，……，N）為第I種投入的係數，這裡N代表所考慮的投入種類的綜合素。變數vI用來衡量投入價值降低一個單位帶來的相對的效率下降。

設Ojk為一定時期內由第k個服務單位所創造的第j種產出的觀察到的單位的數量。

設Iik為一定時期內由第k個服務單位所使用的第i種投入的實際的單位的數量。

2） 目標函式

目標是找出一組伴隨每種產出的係數u和一組伴隨每種投入的係數ν，從而給被評估的服務單位最高的可能效率。

式中，e是被評估單位的程式碼。這個函式滿足這樣一個約束條件，當同一組投入和產出的係數（uj和vi）用於所有其他對比服務單位時，沒有一個服務單位將超過100%的效率或超過1。0的比率。

3） 約束條件

k=1，2，……，K

式中所有係數值都是正的且非零。

為了用標準

線性規劃

軟體求解這個有分數的

線性規劃

，需要進行變形。要注意，目標函式和所有約束條件都是比率而不是線性函式。透過把所評估單位的投入人為地調整為總和1。0，這樣等式的目標函式可以重新表述為：

滿足以下約束條件：

對於個服務單位，約束條件可類似轉化為：

k=1，2，…，K

式中 uj≥0 j=1，2，…，M vi≥0 i=1，2，…，N

關於服務單位的樣本數量問題是由在分析種比較所挑選的投入和產出變數的數量所決定的。下列關係式把分析中所使用的服務單位數量K和所考慮的投入種類數N與產出種類數M聯絡出來，它是基於實證發現和DEA實踐的經驗：

四、程式碼實現

例 利用DEA方法對天津市的可持續發展進行評價。在這裡選取較具代表性的指標作為輸入變數和輸出變數，見表1。

表1 各決策單元輸入、輸出指標值

輸入變數：政府財政收入佔GDP的比例、環保投資佔GDP的比例、每千人科技人員數。輸出變數：經濟發展（用人均GDP表示）、環境發展（用城市環境質量指數表示；計算過程中，城市環境指數的數值作了歸一化處理）。

data.txt如下

14。40 0。65 31。30 3621。00 0。00

16。90 0。72 32。20 3943。00 0。09

15。53 0。72 31。87 4086。67 0。07

15。40 0。76 32。23 4904。67 0。13

14。17 0。76 32。40 6311。67 0。37

13。33 0。69 30。77 8173。33 0。59

12。83 0。61 29。23 10236。00 0。51

13。00 0。63 28。20 12094。33 0。44

13。40 0。75 28。80 13603。33 0。58

14。00 0。84 29。10 14841。00 1。00

程式碼：

clc，clear

format long

load（‘data。txt’）；%把原始資料儲存在純文字檔案data。txt中

X=data（：，［1：3］）；%X為輸入變數，3為輸入變數的個數

X=X‘；

Y=data（：，［4：5］）；%Y為輸出變數，5（3+2），2為輸出變數的個數

Y=Y’；

n=size（X‘，1）；m=size（X，1）；s=size（Y，1）；

A=［-X’ Y‘］；

b=zeros（n，1）；

LB=zeros（m+s，1）；UB=［］；

for i=1：n

f=［zeros（1，m） -Y（：，i）’］；

Aeq=［X（：，i）‘，zeros（1，s）］；beq=1；

w（：，i）=linprog（f，A，b，Aeq，beq，LB，UB）；

E（i，i）=Y（：，i）’*w（m+1：m+s，i）；

end

theta=diag（E）‘；

fprintf（’用DEA方法對此的相對評價結果為：\n‘）；

disp（theta）；

omega=w（1：m，：）

mu=w（m+1：m+s，：）

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