作為圖形科學的平面幾何

平面幾何作為圖形科學，其研究物件如下圖所示，是使用尺子和圓規作出來的圖形。描繪圖形是圖形科學的實驗，圖形科學的理論用於解釋圖形現象，例如證明圖中P、Q、R 三點在同一條直線上。圖形的繪製需要保證正確性，這和在物理學中的實驗必須嚴謹是一樣的。

平面幾何中，一般會把幾個基本法則當作

公理(Axiom)

，根據公理透過論證來推匯出各種各樣的

定理(Theorem)

，從而構成一個體系，這叫作建立

公理系統(

Axiomatic system

)

。

在本章中，我將嘗試講述作為圖形科學的平面幾何及其嚴密的公理系統。

§1公理系統

我們首先來明確公理。

公理Ⅰ

　圖形可以在不改變其形狀和大小的情況下改變其位置。

這是前文引用的《理解幾何學》中的公理Ⅰ，也是掛谷老師的教科書中的第一個公理。

公理Ⅱ

　透過兩點的直線有且只有一條。

這是掛谷老師的教科書中的第二個公理。在這裡，“直線”的意思是《理解幾何學》中解釋的沒有端點的無限直線。

透過兩點A 和B 的直線叫作直線 AB

。

線段，射線　

在直線AB 上，點A 和點B 之間的部分叫作線段AB，A和B 是線段AB 的端點。線段即《理解幾何學》中所說的有限直線。線段AB 的長度用AB 來表示。當然，

BA = AB

連線A、B 兩點的線段AB，其長度為AB，這叫作

A 和 B 的距離

。

從直線 AB 擷取線段 AB 後，直線 AB 剩餘的部分叫作

線段 AB 的延長線

。

在直線上取一點O，O 把這條直線分成兩個部分。這兩個部分都叫作

射線

，

O 叫作直線的開端或者端點

。把 O 作為端點且透過點A 的這條射線叫作射線 OA，從直線 OA 擷取射線 OA 後，直線 OA 剩餘的部分叫作射線 OA 的延長線。另外，把 O 作為端點的射線叫作從 O 出發的射線。

以 O 為開端的兩條射線

以 O 為端點過 A 的射線

射線OA 的延長線

角

角是從一點 O 出發的兩條射線構成的圖形

，O 是角的頂點，兩條射線是邊。在《理解幾何學》中，角的定義是“從一點畫出來的兩條射線所擷取的平面的一部分”。但是，本書認為，角是從一點出發的兩條射線構成的圖形，兩條射線擷取的平面的一部分（紅色部分）

稱作

角的內部

。角的內部是角的兩邊所圍成的平面。

在直線上取兩點A、B，則可以把這條直線稱作直線AB。在角的兩邊分別取與頂點O 不同的點A 和點B，則可以把這個角稱作角AOB。角AOB 用∠AOB來表示，當然，∠AOB 和∠BOA 是相同的角。

角的大小《理解幾何學》中把角的大小定義為：“其一條邊圍繞點O 旋轉，一直轉到另一條邊時的旋轉量。”再清晰一些解釋的話，圍繞點O 周圍旋轉的射線OX 從射線OA 的位置出發，一直旋轉至射線OB 的位置，此時，射線OX的旋轉量為∠AOB 的大小。∠AOB 的大小同樣用符號∠AOB 來表示。角的大小∠AOB 是正實數。∠BOA 和∠AOB 相同，所以

∠BOA = ∠AOB

∠AOB 常常簡寫成∠O，此時，角的大小∠AOB 也寫成∠O。

定義在射線 OX 上 OE = 1 處的點為 E 點，當射線 OX 從 OA 旋轉至 OB 時，點 E 作出一個圓弧。這個圓弧的長度是射線 OX 的旋轉量，這樣來想的話，我們就很清楚地明白旋轉量的意思了。但是，圓弧的長度是平面幾何範圍外的知識，所以我們不能使用圓弧的長度來定義角的大小。

要想測量角的大小，從實用的角度來說，使用量角器是很方便的。量角器的刻度表示圓弧的長度，所以用量角器測量角的大小和用圓弧的長度表示角的大小的原理是相同的。

點C在∠AOB 內部時，如果作出射線OC，∠AOB 就會分成∠AOC 和∠COB兩個角。這時，角的大小的等式為

（1。1）∠AOB = ∠AOC + ∠COB

三角形

三角形　

不在同一條直線上的三點A、B、C 兩兩連線變成線段BC、CA、AB，它們構成的圖形叫作三角形ABC，用符號△ABC 來表示。點A、B、C 叫作△ABC的頂點，線段BC、CA、AB 叫作ABC的邊。∠BAC、∠ABC、∠BCA 叫作△ABC的角或者內角，有時簡寫成∠A、∠B、∠C。另外，把∠A、∠B、∠C 分別叫作邊BC、CA、AB 的對角，邊BC、CA、AB 分別叫作∠A、∠B、∠C 的對邊。由三條線段BC、CA、AB 圍成的部分平面（陰影部分）叫作

△ABC 的內部

。

公理Ⅲ　在 △ABC 中

AB < AC + CB

《理解幾何學》的公理Ⅲ結合了此處講到的公理Ⅱ與公理Ⅲ*。

公理Ⅲ*　線段AB 是連線點A 和點B 兩點間的最短距離。

我們可以知道，公理Ⅲ是公理Ⅲ 的特殊情況。在本章的平面幾何中，如果有公理Ⅲ，便不需要公理Ⅲ。我們用公理Ⅲ取代公理Ⅲ*。

注意在平面幾何中，長度被明確定義的線僅僅是有限個線段連線而成的折線。舉例來說，公理Ⅲ* 實際上主張，當把點A 和點B 像前一頁最下方的圖那樣用折線連線起來的時候，則

AB < AC + CD + DE + EB

將這個不等式與公理Ⅲ結合，可以做如下證明。

AB < AE + EB < AD + DE + EB

< AC + CD + DE + EB

公理Ⅲ* 比公理Ⅲ要常見，但實際上與公理Ⅲ相同。

初中生應該很容易明白公理Ⅰ的意思。我也是在舊制中學時毫無異義地接受了公理Ⅰ。但是，仔細一想，我注意到，雖說圖形可以在不改變其形狀和大小的情況下改變其位置，但是“形狀和大小”的意思並不是很清晰。慶幸的是，在本章中，適用公理Ⅰ的圖形都是三角形。關於三角形，△ABC 的“形狀和大小”是由 3 個角∠A、∠B、∠C 的大小與 3 條邊 BC、CA、AB 的長度來決定的。因此在適用三角形的情況下，公理Ⅰ變成如下內容：

公理Ⅰ△　三角形可以在不改變 3 個角的大小和 3 條邊的長度的情況下改變其位置。

這叫作移動① 三角形。

如果將平面上的三角形看作是把三角尺放置在平面上，那麼就可以隨意平移、旋轉三角形。在平面幾何中，三角形並不是放置在平面上的，但是，與在平面上移動三角尺一樣，平面幾何中的三角形也可以自由移動，這就是公理Ⅰ△。

如上所述，本章適用公理Ⅰ的圖形僅限於三角形，所以在此捨棄公理Ⅰ，取而代之使用公理Ⅰ△。因此就可以不使用“形狀和大小”這種模糊的表達方式了。以防萬一，我們在此整理總結一下前面提到的公理。

公理Ⅰ△　三角形可以在不改變3 個角的大小和3 條邊的長度的情況下，改變其位置。

公理Ⅱ　透過兩點的直線有且只有一條。

公理Ⅲ　在△ABC 中，AB < AC + CB。

平角

如下圖所示，當A、O、B 三點在同一條直線時，把兩條射線OA 和OB 組成

的圖形視為角，用∠AOB 來表示，這叫作

平角

。直線AB 把平面分成兩個部分。其中的一部分（下圖中的陰影部分）叫作平角的內部。圍繞點O 旋轉的射線OX 從射線OA 旋轉至射線OB，此時旋轉量的大小為平角的大小。因此，當點C 位於平角∠AOB 內部時，等式∠AOB = ∠AOC + ∠COB（1。1）成立。

定理1.1　平角都相等。也就是說，如果∠AOB 和∠CPD 都是平角，那麼

∠AOB = ∠CPD

證明請見書中詳述

上文節選自《幾何世界的邀請》， 已獲圖靈許可， 特此感謝！ 部分圖形由 ［遇見數學］ 重新制作。

《幾何世界的邀請》

作 者：

小平邦彥

譯者者：

李慧慧

出版社：

人民郵電出版社圖靈新知

平面幾何是觀察判斷與邏輯思考的精妙結合，是初等數學教育中培育創造力的好途徑。本書為日本數學家、菲爾茲獎得主小平邦彥先生的幾何入門作品，書中以歐幾里得幾何、希爾伯特幾何、複數與幾何為軸線，由淺入深，層層深入，從作為圖形科學的幾何、作為數學的幾何等不同角度介紹完整的幾何世界，是幾何入門、訓練思維與創造力的佳作。

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