異面垂直算是垂直嗎

（即高中數學必修2 - 第13講 基礎應用之“（空間）線線垂直”）

1。 基本問題說明

提示：一般地，空間各種垂直關係問題的立足點都是“線線垂直”基本問題。

線線垂直是立體幾何模組中最常遇到的幾個基本問題之一。

除了求解線線垂直本身的題目，它還廣泛存在於線面垂直、面面垂直關係的證明中；可以這麼說，空間垂直關係的證明都可分解為若干個線線垂直的基本問題的求證來實現。

2。 解決基本問題的一般方法

初中學的平面幾何知識，包括線線垂直有關的公理、定量、性質等，是求解與幾何體有關的線線垂直問題之必備基礎。而且，在幾何體中研究線線平行，看上去更復雜、更抽象，證明方法也更豐富。其要點包括：

a） 平面幾何線線垂直的常用性質（基礎）

① 等腰三角形底邊上的中線與高、頂角的角平分線均垂直於底邊

② 三角形某一邊的中線若等於該邊一半，則該邊所對的角是直角（利用外接圓秒懂！）

③ 在一個三角形中，若有兩個角互餘，則第三個角是直角

④ 鄰補角的平分線互相垂直

⑤ 一條直線垂直於平行線中的一條，則必垂直於另一條

⑥ 兩條直線相交成直角則兩直線垂直

⑦ 兩不同點到某一線段兩端的距離分別相等，則該兩點在該線段的垂直平分線上

⑧ 利用勾股定理的逆定理

⑨ 利用半圓上的圓周角是直角

b） 常用證明方法

如兩直線是異面的，則需要找到（另一個）可能存在的線面垂直或面面垂直關係，從而間接證明所求的異面直線間的關係；如兩直線在一個平面內，則首先可平面內尋找可透過已知邊、角度關係來證明兩線垂直的解題思路（參見上述“平面幾何線線垂直的常用性質”）；但是，若這個平面內已知條件不足，則可把視野擴充套件到與這個平面相交且交線為這兩根直線（之一）的其它平面上，以找到（另一個）可能存在的線面垂直或面面垂直關係，從而間接證明所需的直線間的關係。三垂線定理及其逆定理實質上就是一個特定形態的線面垂直的結論。由於其典型的特徵，三垂線可看作一種線線垂直的正規化，常可用在解決空間垂直問題時的一個（得到線線垂直）有效方法。

編輯搜圖

三垂線定理及其逆定理詳細說明見“空間角度計算”部分。

c） 輔助線（適用於所有立體幾何問題）

就幾何證明題而言，熟知與題相關的定義、公理與定理、性質是破題的關鍵，也是引入輔助線的目的或意圖所在。例如，為了使用三垂線定理或其逆定理，就可能要作平面的垂線或平面上直線的垂線。

因此，作輔助線之前，要先明確其目的或所起作用。這樣才能有的放矢地作出好用的輔助線。作輔助線的常見可能情形有：

①對於複雜的幾何體，可能需要利用輔助線分割成若干個常見的幾何體求解；

②對於抽象的幾何體，可能需要利用輔助線補全為常見的幾何體求解；

③當應用某定義、定理或性質時，發現缺少條件，就要考慮新增輔助線把條件補上；

④若有中點（一個或兩個），可能需要作中位線；

⑤若有垂面，可能需要作垂線；

⑥若有對稱體或面，可能需要把其中心連起來；

⑦若已知條件太分散，可透過新增輔助線將它們關聯起來，以構造所期望的圖形。

3。 典型示例

例1 如圖，四邊形ABCD為正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝ 1/2PD，求證：PQ⊥平面DCQ。

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證明：由條件知，QA⊥平面ABCD，DC⊥AQ，

∵PD∥QA，

∴DC⊥PD，

又∵CD⊥DA，

∴DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC

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例2 如圖，在三稜柱ABC-A1B1C1中，每個側面均為正方形，D為底邊AB的中點，E為側稜CC1的中點，AB1與A1B的交點為O．

（1）求證：CD∥平面A1EB；

（2）求證：AB1⊥平面A1EB。

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證明：（1）設AB1和A1B的交點為O，連線EO，連線OD．因為O為AB1的中點，D為AB的中點，所以OD∥BB1且OD = BB1/2

又E是CC1中點，則：

（提示：此題為上一講的平行四邊形法證明線線平行的示例）

EC∥BB1且EC = BB1/2，即EC∥OD且EC=OD，

則四邊形ECOD為平行四邊形．所以EO∥CD．

又CD平面A1BE，EO平面A1BE，則CD∥平面A1BE。

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講解：

本題第1問求證平行關係中，雖然給定的條件有中點，但無法找到或構造一個三角形把已知和求證問題關聯起來，所以中位線法行不通。仔細觀察後，發現可構造一個四邊形把已知和求證問題關聯起來，所以目標轉化為證明該四邊形為平行四邊形（詳見“線性平行”章節）。本題第2問求證垂直關係中，一般地，一個線線垂直關係可透過已知條件和平面幾何性質得出——直接、簡單地，另一個則需證明另一個線面垂直（EO⊥平面A1ABB1）才得出——間接、拐彎地，是出題人的考查重點所在。

溫馨提示：更多有關其它線線線垂直方法的應用示例見後面的綜合應用課程（以及大家平時的作業和測評題目）。這裡舉例的目的不是試圖窮舉所有方法的相應例題，而主要是啟發示範並啟發大家在解題過程中如何思考。

貼心分享：一個完整的、有效的學習過程是迭代地進行“預習->學習->複習”。其中複習不可或缺，相當一部分同學的學習效果差強人意的主要原因之一是缺失了‘複習’環節——結果自然類似“猴子掰玉米”！