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我們曾經在之前的課程裡講到均值迴歸，時間序列從一個週期到下一個週期的變化傾向於恢復到其平均水平。但是，許多金融時間序列的變化遵循隨機模式，我們一般將其叫做“隨機漫步”。

隨機漫步介紹

隨機漫步是金融資料研究中最廣泛的時間序列模型之一。隨機漫步是指時間序列中一個週期的序列值是前一個週期序列值加上不可預測的隨機誤差。

隨機漫步可以用以下等式描述：

以上公式表示時間序列xt在每個週期中均等於前一個週期的值加上一個誤差項εt，該誤差項具有恆定的方差並且與前一個週期的誤差項不相關。以下兩點需要注意：首先，該方程式是b0=0且b1= 1的特殊的AR（1）模型。其次，εt的期望值為零。因此，在t–1週期內對xt的最佳預測是xt-1。

在金融時間序列中，隨機漫步很普遍。許多研究已經發現貨幣匯率遵循隨機漫步，複雜的匯率預測模型不會比隨機漫步模型預測的結果更佳，對未來匯率的最佳預測是當前匯率。

但是，我們不能使用此前我們講過的迴歸方法對隨機漫步的時間序列估計一個AR（1）模型。因為隨機漫步沒有有限的均值迴歸水平和方差。回想一下，如果xt是均值迴歸的，則xt=b0+b1xt，或者xt=b0/（1-b1）。但是，如果xt是隨機漫步的，b0= 0且b1= 1，則b0/（1-b1）=0/0。

因此，隨機漫步具有不確定的均值迴歸水平。

那麼隨機漫步的方差是多少？假設在週期1中，x1的值為0。那麼x2=0+ε2。因此，x2的方差=Var（ε2）=σ2。x3=x2+ε3=ε2+ε3。因為假定每個週期中的誤差項與所有其他週期中的誤差項都不相關，所以x3的方差=Var（ε2）+Var（ε3）=2σ2。

透過類似的論點，我們可以證明對於任何週期t，xt的方差=（t-1）σ2。但這意味著，隨著t的增大，xt的方差會增大而沒有上限：它接近無窮大。缺少上限的情況意味著隨機漫步不是協方差平穩的時間序列，因為協方差平穩的時間序列必須具有有限的方差。

這些問題說明不能在隨機漫步的時間序列上使用標準迴歸分析。但是，如果我們懷疑時間序列是隨機漫步的，可以嘗試將資料轉換為協方差平穩時間序列。

我們建立一個新的時間序列（yt），該時間序列在每個週期上等於xt和xt-1之間的差。這種轉換稱為“一階差分”，從時間序列的當前值減去先前一個時間段的值。

εt的期望值為0。因此，該時間段t-1中yt的最佳預測是0。

一階變數yt是協方差平穩的。該模型（yt=εt）是AR（1）模型，其中b0=0且b1=0。因此一階差分模型的均值迴歸水平為b0/（1-b1）=0/1=0，yt的方差為Var（εt）=σ2。由於yt的方差和均值在每個週期中都是恆定且有限的，因此yt是協方差平穩的時間序列，我們可以使用線性迴歸對其進行建模。當然，可以使用AR（1）模型對一階差分序列進行建模並意味著可以幫助我們預測未來。

以下案例進行了更完整的說明。

案例 日元/美元的匯率

金融分析師通常認為匯率是隨機遊走的。考慮日元/美元匯率的AR（1）模型。下表為對1980年1月至2013年12月月末的觀察值進行建模的結果。

上表的結果似乎表明，日元兌美元匯率是符合隨機漫步的，因為截距與0沒有顯著差異，而且匯率第一次滯後的係數非常接近1。但是，我們不能使用t統計量來檢驗匯率是否符合隨機漫步，因為如果模型是用隨機漫步的資料序列（不是協方差平穩的）來估計的，AR模型中的標準誤是無效的。如果匯率實際上符合隨機漫步，我們會根據錯誤的統計檢驗得出錯誤的結論。我們將在下一次課程中講解檢驗時間序列是否符合一個隨機漫步的方法。

假設匯率是隨機漫步的，一階差分序列yt=xt-xt-1將是協方差平穩的。下圖顯示了對該序列的統計分析結果。如果匯率是隨機漫步的，那麼b0=0且b1=0，誤差項不會是連續相關的。

在上表中，一階差分的截距和第一個滯後係數均與0無顯著性的差異，殘差自相關係數與0也無顯著性差異。因此我們得出結論，差分迴歸模型是可以選擇的。

現在我們看到，如果基於R2的大小來選擇模型，將會被誤導。在第一個圖表中，R2是0。9902，而在第二個圖表中，R2是0。0026。如果我們只是因R2而得出結論，就會選取第一個模型。在第一個模型中，R2度量了一個時期的匯率對下一個時期的匯率的預測能力。如果匯率是隨機漫步的，它的當前值將是一個非常好的預測下一個時期值的指標，因此R2將非常高。

但是同時，如果匯率是隨機漫步的，那麼匯率的變化應該是完全不可預測的。下表估計了從一個月到下一個月的匯率變化是否可以透過前一個月的匯率變化來預測。如果無法預測，那麼模型的R2應該非常低（0。0026）。這個比較說明了一個普遍的規則：我們不能僅僅透過比較兩個模型的R2來選擇哪個模型是正確的。

匯率是隨機漫步的，而隨機漫步的變化是不可預測的。因此，我們不能從預測匯率變化的投資策略中獲利。

至此，我們僅討論了簡單的隨機漫步：沒有漂移的隨機漫步。在沒有漂移的隨機漫步中，下一個時間序列的最佳預測值就是其當前值。具有漂移的隨機漫步的方程式如下：

與簡單的隨機漫步b0= 0相比，具有漂移的隨機漫步b0≠0。

在之前我們講到，b1=1意味著不確定的均值迴歸水平，是不穩定的。因此，我們也無法使用AR模型來分析具有漂移的隨機漫步時間序列，需要進行一階差分，結果為yt=xt-xt-1，yt=b0+εt，b0≠0。

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