H37。如圖，∠MAN=90°，點C在邊AM上，AB=4，點B為邊AN上一動點，連線BC，△A′BC與△ABC關於BC所在直線對稱，點D，E分別為AC，BC的中點，連線DE並延長交A′B所在直線於點F，連線A′E．當△A′EF為直角三角形時，求AC的長。

解讀：

由對稱可知：△A′BC≌△ABC，對應邊等，對應角等；

由中點D，E得，中位線DE，斜邊上的中線A′E；

當△A′EF為直角三角形時，直角存在兩種可能，要分兩種情況：

∠A‘EF=90°和∠A’FE=90°討論。

解答：當△A′EF為直角三角形時，存在兩種情況：

（1）當∠A‘EF=90°時，如圖1，

∵△A′BC與△ABC關於BC所在直線對稱，

∴△A′BC≌△ABC，

∴設A’C=AC=m，∠ACB=∠A‘CB，

∵點D，E分別為AC，BC的中點，

∴DE是△ABC的中位線，

∴DE∥AB，

∴∠CDE=∠MAN=90°，

∴∠CDE=∠A’EF，

∴AC∥A‘E，

∴∠ACB=∠A’EC，

∴∠A‘CB=∠A’EC，

∴A‘C=A’E=m，

Rt△A‘CB中，∵E是斜邊BC的中點，

∴A’E是斜邊上的中線，

∴BC=2A‘E=2m，

由勾股定理得：AB²=BC²﹣AC²，

∴16=4m²-m²，

解得m=4√3/3，

∴AC=4√3/3；

（2）當∠A’FE=90°時，如圖2，

∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°，

∴∠ABF=90°，

∵△A′BC≌△ABC，

∴∠ABC=∠A‘BC=45°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴AC=AB=4；

綜上所述，AB的長為4√3/3或4時，△A′EF為直角三角形。