ln（1+x） =x-x/2+x/3+，+（-1）^（n-1） * x^n/n+，LS=ln1=0RS = 0這裡的n是從0開始的正整數，與x應該無關，題中寫的只是當x取0時的ln（1+x）的結果。

ln（1＋x）=1+1/x-1/x^2+1/x^3。+（-1）^（n-1）/x^n+Peano餘項。泰勒公式，應用於數學、物理領域，作為一個用函式在某點的資訊描述其附近取值的公式。如果函式足夠平滑的話。在已知函式在某一點的各階導數值的情況之下，可以用這些導數值做係數構建一個多項式來近似函式在這一點的領域中的值。泰勒公式還給出了這個多項式和實際的函式值之間的偏差。實際應用中，泰勒公式需要截斷，只取有限項，一個函式的有限項的泰勒級數叫作泰勒展開式。泰勒公式的餘項可以用於估算這種近似的誤差。

實際應用中，泰勒公式需要截斷，只取有限項，一個函式的有限項的泰勒級數泰勒展開式。泰勒公式的餘項可以用於估算這種近似的誤差。泰勒展開式的重要性體現在以下五個方面：1、冪級數的求導和積分可以逐項進行，因此求和函式相對比較容易。2、一個解析函式可被延伸為一個定義在複平面上的一個開片上的解析函式，並使得複分析這種手法可行。3、泰勒級數可以用來近似計算函式的值，並估計誤差。4、證明不等式。5、求待定式的極限。

在數學中，泰勒公式是一個用函式在某點的資訊描述其附近取值的公式。如果函式足夠光滑的話，在已知函式在某一點的各階導數值的情況之下，泰勒公式可以用這些導數值做係數構建一個多項式來近似函式在這一點的鄰域中的值。泰勒公式還給出了這個多項式和實際的函式值之間的偏差。泰勒中值定理（帶拉格朗日餘項的泰勒公式）：若函式f（x）在含有x的開區間（a，b）有直到n+1階的導數，則當函式在此區間內時，可以展開為一個關於（x-x0）多項式和一個餘項的和。

e^x=lim（1+x/n）^n，泰勒展開式常用公式e^x=lim（1+x/n）^n。 泰勒公式是一個用函式在某點的資訊描述其附近取值的公式。來自於微積分的泰勒定 理，如果函式足夠光滑的話，在已知函式在某一點的各階導數值的情況之下，泰勒公式可以 用這些導數值做係數構建一個多項式來近似函式在這一點的鄰域中的值。泰勒公式是將一個在x=x0處具有n階導數的函式f（x）利用關於（x-x0）

n次多項式來 逼近函式的方法。

泰勒公式雖然形式不算複雜，但來路比較詭異。幾乎所有的教材都是直接給出這個公 式，然後再進行相應的結論證明。泰勒級數用無限項連加式，即級數來表示一個函式，這些 相加的項由函式在某一點的導數求得。泰勒公式得名於英國數學家布魯克·泰勒。他在1712年的一封信裡首次敘述了這個公式，盡 管1671年詹姆斯·格雷高裡已經發現了它的特例。拉格朗日在1797年之前，最先提出了帶有 餘項的現在形式的泰勒定理。