數軸是理解有理數概念與運算的重要工具，數軸形象地反映了數與點之間的關係，實現了“數”與“形”的結合，它可以幫助我們直觀地理解有理數的意義．數與表示數的圖形（如數軸）相結合的思想是學習數學的重要思想。正如華羅庚教授詩云：

數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。

數缺形時少直覺，形少數是難入微。

數形結合百般好，隔裂分家萬事非。

切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯絡，切莫分離！

數與形的第一次聯姻——數軸，使數與直線上的點之間建立了對應關係，揭示了數與形的內在聯絡，並由此成為數形結合的基礎。因此，學習有理數，一定要學好數軸，用好數軸．

一、學好數軸

1、數軸的概念：

規定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數軸。

由此可知，數軸的這一概念包含了三層涵義：第一層涵義是說數軸是一條直線，可以向兩端無限延伸，但直線不是數軸 ；第二層涵義是說數軸有三個特殊條件：①原點；②正方向；③單位長度。三者缺一不可，這三個特殊條件稱為數軸的“三要素”；第三層是說數軸上的原點位置、單位長度都是自己規定的，但在同一條數軸上的單位長度必須一致；第四層涵義是說正方向通常選取向右的方向為正方向。

2、數軸的畫法：

正確地畫出一條數軸的方法可概括為“一畫、二取、三選、四標”。即一畫，即畫一條直線，再畫出原點；二取，即取向右的方向為正方向；三選，即選取適當的長度為單位長度；四標，即在數軸上標出1，2，3，…，0，－1，－2，－3，…等各點。

畫一條數軸雖然可概括為“一畫、二取、三選、四標”，但還必須注意以下幾個問題：

①數軸這條直線通常情況下要畫成水平的；

②單位長度的選取應根據實際情況的需要，如要在數軸上表示0。2和0。25的點，則單位長度可取長一點，如用2。5cm的長度為單位長度；又如要在數軸上表示－2000和3500的點，則單位長度可取小一點，如用0。5cm的長度為500；

③原點的選取也應從實際出發，如要在數軸上表示－5和2的點，此時的原點可選定偏左一點。等等。

例1．畫一條數軸，並在數軸上標出下列各數．

﹣3，

，﹣1。5，0，+3。5，4

【分析】根據正數在原點右邊，負數在原點左邊即得．

【解答】：如圖：

例2．畫出數軸，並回答下列問題：

①數軸上的點表示下列各數：5，﹣3。5，

，﹣2．

②在數軸上標出表示﹣2的點A，寫出將點A平移4個單位長度後得到的數．

【分析】①畫出數軸，在數軸上表示各數即可求解；

②先在數軸上標出表示﹣2的點A，再寫出將點A平移4個單位長度後得到的數是2或﹣6即可求解．

【解答】：①如圖所示：

②如圖所示：將點A平移4個單位長度後得到的數是2或﹣6．

3、學習數軸時應注意的問題：

（1）畫數軸時，原點、正方向和單位長度這三個要素缺一不可，

畫數軸應避免四種錯誤

①缺正方向．如下圖：

②缺少原點．如下圖：

③缺少單位長度．如下圖：

④單位長度不統一．如下圖：

（2）。 正確理解數軸與有理數間的對應關係

①會準確地由數軸上的有理數點把所表示的有理數寫出來．

②會準確地把所有的有理數在數軸上表示出來，表示時要用實心圓點．

要特別注意的是，所有的有理數都可以用數軸上點來表示；反過來，卻不成立，也就是說，“數軸上所有的點都表示有理數”這句話是錯誤的，這一點在學習了實數後就會明白．

二、用好數軸

1、利用數軸加深對有理數的認識

（1）正確認識0

隨著負數的引進，數的範圍擴大了，0除了表示一個也沒有外，還是正數與負數的分界，它既不是正數也不是負數，它是整數．

（2）正確認識整數

在數軸上原點和單位長度整數倍的點表示的都是整數。沒有最小的整數，也沒有最大的整數；最大的負整數是－1，最小的正整數是1．

（3）正確理解正數、負數

在數軸上，原點左邊的所有點都表示負數，且越往左數越小；原點右邊的所有點都表示正數，且越往右數越大．從數軸上可以看出，沒有最小的負數，沒有最大的負數，同樣，沒有最小的正數，也沒有最大的正數．

2、利用數軸探究問題

例3．如圖，圓的直徑為1個單位長度，該圓上的點A與數軸上表示1的點重合，將該圓沿數軸向左滾動1周，點A到達A′的位置，則點A′表示的數是（）

A．π﹣1 B．﹣π+1

C．﹣π﹣1 D．π﹣1或﹣π﹣1

【分析】先求出圓的周長為π，從A滾動向左運動，運動的路程為圓的周長．

【解答】：∵圓的直徑為1個單位長度，∴此圓的周長＝π，

∴當圓向左滾動時點A′表示的數是﹣π+1；故選：B．

例4．如圖，在數軸上，

從﹣1到1有3個整數，它們是﹣1，0，1；

從﹣2到2有5個整數，它們是﹣2，﹣1，0，1，2；

從﹣3到3有7個整數，它們是﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3；

從﹣n到n（n為正整數）有_______ 個整數．

【解析】由“從﹣1到1有3個整數，它們是﹣1，0，1；從﹣2到2有5個整數，它們是﹣2，﹣1，0，1，2；從﹣3到3有7個整數，它們是﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3；”可知從﹣n到n（n為正整數）的整數以0為分界線，小於0的有n個，大於0的有n個，加上一個0，一共有n+n+1＝2n+1個．故答案為：2n+1．

例5．一輛快遞車從站點出發負責送貨，向東走3千米到達幸福港灣，繼續向東走了25千米到達陽園新城，然後向西走了9。5千米到達碧源月湖，最後返回站點．

（1）以站點為原點，向東為正方向，1個單位長度表示1千米．請你畫出數軸並在上面標出站點．幸福港灣、田園新城、碧源月湖的位置．（站點用點O表示，幸福港灣用點A表示，園新城用點B表示，碧源月湖用點C表示）

（2）幸福港灣與器源月潮相距多遠？

（3）若快道車每千米耗油1。5升，那麼這輛快遞車此次送貨共耗油多少升？