實數都可以用分數表示嗎

黃金分割大概是最叫人津津樂道的數學典故了，這個自相似的比例有許多奇妙的價值，人們相信它在藝術、人體乃至各種生物的發育中有著重要的意義。

本期節目並不打算在數學上或者應用上做過多討論，因為那是網際網路上隨處可見的軼事――我們將會分兩部分，欣賞幾個與黃金分割有關的藝術的例子，再從原理上弄明白它對生物有何切實的意義。

這將是輕鬆愜意的事情。

-文字稿-

我們之前在《琴絃上的數學危機》中講過，公元前5世紀的畢達哥拉斯學派很有可能在研究五邊形的內接五角星時發現了無法公約的數，也就是發現了無理數。而且這個無理數在今天已經非常為人熟知了，它就是黃金分割。

黃金分割最簡單的表述，就是將已知線段分割成長短兩段，使得原線段與長線段的長度的比值，等於長線段與短線段的長度的比值，有了今天的代數工具，這個結果實在容易計算。

但由於古希臘的數學與幾何相當割裂，黃金分割不能計算，被稱為“中末比”收錄在《幾何原本》裡。而到文藝復興，達芬奇有個好朋友，數學家盧卡・帕西奧利（Luca Pacioli，1445 -1517）修士，在整理《幾何原本》的時候被帶有黃金分割的幾何結構深深吸引了，將它譽為“神聖比例”（De divina proportione）。

又在1496年到1498年之間以此為題寫了一本冊子，專門討論黃金分割在數學和藝術上的重要性――達芬奇為這本書創作了許多版畫，包括一個著名的小斜方截半立方體模型，埃舍爾還借用這種風格創作過自己的版畫；

而帕西奧利本人利用圓和矩形的相切關係設計了一套優雅的襯線字型流傳至今，如今紐約的大都會博物館的標誌就直接取自其中的M。

這本書的第二部分以古羅馬建築家維特魯威的著作為例，討論了建築與人體的聯絡――達芬奇此前那幅《維特魯威人》就是這個含義。

儘管這些嚴格的數學比例大多隻是個巧合，人眼並不能觀察無窮小量，黃金分割也只是看起來勻稱而已。

但要存心以此創作，就完全是另一回事兒了――在此後500年的藝術史上產生了兩個非常經典的案例：《多尼圓畫》保存於佛羅倫薩的烏菲齊美術館，是米開朗基羅僅存的完成的油畫作品，連畫框都是米開朗基羅親自設計的原裝，如果連線畫框上耶穌、兩先知和兩女子的頭像，就會構成一個五角星覆蓋畫面，以黃金分割連線聖母、聖子和聖若瑟的主要關節和衣物褶皺，背景上聖徒的與裸體也恰好就在連線附近――在所有文藝復興黃金分割應用裡，這可能是附會味道最淡的了。

如果這有些附會的味道，達利在1949年這幅《原子勒達》就確鑿無疑：

畫中畫的是宙斯化作天鵝強姦了斯巴達的王后勒達，畫中勒達的模特是達利的媳婦加拉，而天鵝是達利的自比，畫中一切都在空間中懸掛，任何事物間都不相互碰觸，連大海都在騰空而已，不與沙灘接觸。

這幅畫的構圖非常奇妙，讓人摸不著頭腦，但達利在1947年的素描表明了一切：充滿了黃金分割的五邊形內接五角星。

但五角星並非黃金分割唯一的數學表述：植物身上充斥著一種美妙的分形，寶塔花菜是其中最優美的――要理解這種模式的適應優勢，就把黃金分割的代數和幾何表達聯絡在了一起。

簡單地說：植物的生長點每隔一個角度就發出一個側芽，如果這個角度太過平庸，新的芽旋轉幾周之後就會與老的芽對在一起，既浪費空間又爭奪資源。所以兩個側芽之間的夾角最好足夠刁鑽，怎麼轉都回不到原點――而圓周角的黃金分割就是這個刁鑽的角度。

任何實數都可以用這樣的連分數表示出來，有理數就是有限的連分數，無理數就是無限的連分，比如圓周率，我們就會發現，才展開到第五層，就出現了292這樣巨大的整數，這使得這一項以後的連分數非常小，對整體數值的影響可以忽略。圓周率會非常接近某個有理數，所以祖沖之很早就用籌算得出了22/7和355/113這樣的小誤差近似值。

而如開頭談到的，有理數是能公約的數，按這樣的角度生長很快就會擠在一起。

那麼顯然了，連分數的大整數越少，越適合植物生長，比如根號2就是個不錯的數，每一個分母中的整數都是2，由此產生的生長點就很均勻了――而當所有分母中的整數都是1的時候，植物就長出了最刁鑽的角度，能最大限度的利用空間和資源。

而這個分數的值也非常容易計算：將它自己帶入自己，原來這就是黃金分割！

更絕的是，取黃金分割的連分數的每一節化簡，就會得到斐波那契數列，這也是非常容易證明的結果論，所以對於所有緊密堆積的植物頂端，從不同的方向構造螺線數一數能湊出多少，就永遠恰好是斐波那契數列中的某個值，於是就連一頭菠蘿，一頭仙人掌，一頭甘藍，都變得格外理性了。