怎樣用代數去證明家族圖

在平面直角座標系中，除了之前所講的常見的幾何解法外，還經常可以考慮一些解析方法，請看最後的幾種解法.

解法十二抓住了圓的本質特徵，即圓上各點到圓心的距離始終等於半徑的長，藉助設座標法，再利用兩點間距離公式（即勾股定理）列方程求解。這個解法的實質就是求直線OP與圓的交點座標。

此外，還可以將點P視為兩直線的交點，採取求交點座標的方法求解，即為下面的兩種解法。

想要避免超綱之嫌，依然可以透過倒角，藉助相似比或三角比，求出直線MN與座標軸交點的方式進行．

3 解後反思

3.1 等腰直角三角形問題的常見解題策略

3.1.1 見等腰直角三角形，造三垂直結構

等腰直角三角形是三角形家族中的一類特殊成員，也是中考重要的命題載體。構造一線三直角是解決其存在性問題的一種重要策略，如本文的解法一至解法五。

如圖2－1，先過等腰直角三角形的直角頂點作一條水平線或者豎直線，然後過另外兩個頂點向其作豎直垂線或者水平垂線，構造出的四個陰影直角三角形均全等。選擇其中任意兩個，即為一種解法，它們是“一夥的”。其中有些搭配不能再簡稱為“一線三直角”，我們更願意稱其為“三垂直結構”。

事實上，只要過直角頂點任意作一條直線，再由另兩個頂點向其作垂線，如圖2－2，陰影的兩個三角形依然全等，對應解法三。

“見等腰直角三角形，構造三垂直結構”，相對而言，直角頂點已知的情形比未知情形簡單的多。前者可直介面算，而後者需設元，藉助方程解決問題。在直角頂點未知的前提下，可採取適當的手段轉化為已知情形：

如圖2－3，可稱“倍長法”，對應解法四；

而圖2－4，可稱“半縮法”，對應解法五。

45°是一個美妙的角，聯想是基本的解題技巧。當我們遇到美妙的45°角時，自然聯想到構造等腰直角三角形。

如圖2－5，已知∠ABC＝45°，其中A、B為已知點，點C未知。

這時有四種構造方式，如圖2－6所示，其中等腰Rt△ABD2是最佳的處理策略，緣自此時的直角頂點已知，優於其他的直角頂點未知，然後依託這個等腰直角三角形構造“三垂直結構”，你就可以玩轉相關題目了。

3.1.2 見等腰，想旋轉

等腰直角三角形屬於等腰三角形中的一員，“見等腰，想旋轉”也是一種常見的處理策略。

如圖3－1，等腰Rt△ABP中PA＝PB，它為旋轉奠定了天然的條件，可以將線段PO繞著點P按順時針或者逆時針方向旋轉90°，構造出“共直角頂點的雙等腰直角三角形結構”，得到“手拉手”式的全等三角形，即為解法六。

事實上，此題除了可以繞點P旋轉，也可以繞點A或點B旋轉。圖3－2即為繞點B旋轉的方式，當然這裡不僅涉及旋轉變換，還涉及位似變換，不妨稱為“旋似變換”。其實這種解法的輔助線類似於解法七。

更一般地，只要△APB的形狀確定，如圖3－3，可以把點O視為動點，將線段OA、OB、OP分別繞點A、B、P三點作旋轉（或位似），利用旋轉來可以建立起OA、OB、OP三者之間的關係，此類旋轉方式一般有六種，可稱為“旋轉六法”。而OA、OB、OP組成的結構又可形象地稱為“不等三爪圖”，即“見不等三爪圖，想旋轉”！

3.2 三角法與相似法

三角形是多邊形家族中最穩定的結構，多邊形問題大都可以轉化為三角形問題。解三角形是最基本的解題技能，譬如直角三角形中的勾股定理，相似（含全等）三角形以及三角函式等。

一個圖形若是確定的，必然就是可解的，而且一般怎麼確定就怎麼求解，筆者稱之為“基於確定性思想的因果關係分析法”。利用確定性思想來解三角形是解題必備的基本功。鳥叔認為，相似三角形是三角函式的基礎與根本，而三角函式是相似三角形的濃縮與昇華。相似體現兩個三角形之間的關係，如相似比等，而三角則是確定和解三角形的重要工具。從這個角度看，相似、三角本為一家，解法七至解法十一都屬此列。

3.3 解析法

很多幾何問題，除了可以考慮幾何構造法之外，還可以另闢蹊徑，採取座標解析法進行求解。運用座標解析法解題的步驟是：首先在平面上建立直角座標系，把已知點的軌跡的幾何條件“翻譯”成代數方程，然後運用代數工具對方程進行研究，最後把代數方程的性質用幾何語言敘述，從而得到原先幾何問題的答案（摘自百度百科）。

解析思想促使人們運用各種代數方法解決幾何問題，先前被看作幾何學中的難題，一旦運用代數法後就變得平淡無奇了。解析法對近代數學的機械化證明也提供了有力的工具。本文中解法十二至解法十六都是運用解析法來解決問題，其中為避免“k1k2=-1”等超綱之嫌，又可採取相似比或者三角比等手段。真可謂，幾何代數不分家，數形結合百般好！

3.4 數學思想方法

每道數學題都有其靈魂高度，每種解題方法都有其思想境界。思想決定高度，站得高，方能望得遠。上述各種解法中蘊含著豐富的思想，如確定性思想，它是一種重要的分析問題、解決問題的自然想法，確定的必可解；再如轉化與化歸思想，數學玩的就是轉化，沒有轉化，就沒有數學，轉化思想在數學中無處不在；還有改“斜”歸正、化斜為直的重要思想方法，包含平面直角座標系中常見的“水平—豎直輔助線”、解析法中“k1k2=-1”的幾何解釋等。

由於篇幅較長，方法較多，鳥叔將其分成了多篇圖文，請大家一定要連貫著去閱讀，如果把這些方法都融會貫通，一定能對你的數學起到作用！

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