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數學能用嗎？

數學悖論是數學的一個專用名詞，它是指透過數學的邏輯思維推理，可以得出兩個完全相反或相悖的結論，這樣的命題便稱為數學悖論。數學悖論在數學的發展歷史上屢見不鮮，其中一些著名的悖論還引發了幾次數學危機，使數學的發展經歷了三次重大困難與變革，這就是史稱“數學三大危機”的故事。透過對數學危機的處理和應對，又使對數學的理論認識得到了一次大的飛躍，這也是推動數學不斷向前發展的動力之一。

數學危機通常是由數學悖論或對數學的認識範圍限制引起的數學認識問題，它使人們對數學的基礎架構形成不信任的狀態，認為我們今天的數學理論都是在前人奠定的基礎上發展起來的，例如函式來源於對映，對映來源於對應，歐氏五公設等。因此，一旦出現與數學基礎理論相沖突的問題，人們就會想到是不是數學基礎本身就有問題，對數學的系統性，嚴密性和邏輯性產生極度的不信任。因此，數學家們便會對此問題進行討論和研究，使數學的基本邏輯關係不至於發生重大錯誤，從而誤導人們對數學失去信任。數學悖論在生活中也叫“二難問題”，即怎麼說或怎麼做都不會對，因此也常被人津津樂道地傳播開來。

國家叫停數學培訓。

其實數學悖論形成的原因，大多是因為對數學概念認識不透或濫用條件造成的，歷史上造成數學危機的幾個悖論，都以透過進一步的擴充數系或規範範圍得以解決，因此數學危機總有化解的方法，儘管悖論的產生是偶然發現的，但只要本著數學的精神，就可以使人們得到一些新的認識，這也算是悖論推動人類對數學的更深入理解和認識的一點積極作用吧！

第一次數學危機的產生是這樣的。相傳在古希臘有一個類似於宗教的組織叫“畢達哥拉斯學派”，這個學派招納了很多數學愛好者進來，然而都必須遵從本學派的教規，即畢達哥拉斯推崇的“萬物皆數”。這裡的數特指整數，因為當時人們認識的數僅限於有理數。畢達哥拉斯發現，任何數都可以透過整數的運算形成其他不同的數。如分數可以用整數相除得到，有理數可以透過整數四則運算形成，如丈量一根竹竿時，總可以找到一根短的竹籤，使竹竿的長是竹籤長的整數倍，當時稱這種丈量法叫可“公度”。因此畢達哥拉斯認為，世界萬物都是由整數構成的，沒有例外。如果教徒不承認這一點，那便是違反教規，是大逆不道之徒，是要被教派嚴厲懲罰的。然而有一天，教派內有一個教徒希普索斯發現，當一個直角三角形的兩直角邊相等且為整數時，無論如何也找不到一根竹籤（分數長度），使這個直角三角形的斜邊是這根竹籤的整數倍。即此時的直角三角形斜邊就不可公度。這一發現在教派內流傳開來，使教派的宗旨受到質疑。這也大大激怒了畢達哥拉斯本人，使他推崇的名言“萬物皆數”顏面掃地。因此，一怒之下，他便讓教徒們把希普索斯扔進海里活活淹死，以此來平息教派內異樣的聲音。然而這一發現並沒有被畢達哥拉斯湮滅，更多數學家研究發現，有理數並不能滿足日常中長度的需要，不可公度的現象時常發生，因此人們就給這種不可公度的數取了一個名字，叫“無理數”。

敢反對我，找死！

第一次的數學危機直接導致了“無理數”的發現，使人們對數的認識又進了一大步。生活中的無理數已經很常見了，如圓周率π，根號2，ln2等，都是無理數。無理數與有理數不同，是無限不迴圈小數，它與有理數統稱為實數，形成了能表示長度、距離、重量和時間等的所有數，即數軸上的點與實數是一一對應關係，沒有其他的數會再出現在數軸上，而且實數中，無理數比有理數多得多，即任意兩個有理數之間都有無數個無理數，而任意兩個無理數之間，不一定有有理數，這就是數學歷史上的“連續統假設”，至今沒有出錯。

第二次數學危機則更有趣。自從康托爾建立了集合論以來，就被很多數學家認為是一件很了不起的成就，使數學的研究提升了一大步，在眾多讚賞者中，不乏許多著名人物如費馬、羅素等。但羅素是一個研究邏輯學的高手，他雖然贊同集合論的功績，但他也在想方設法找出集合論的邏輯基礎。有一天，他經過一個村莊，聽說村裡有一個理髮師很有名，剃鬚剃得很乾淨利落，得到村裡人的公認。於是，他來到了這個理髮店門口，見門前有一塊招牌上寫著，“本人只給村裡不給自己剃鬚的人剃鬚”。也就是說，如果你自己沒有剃好，他是不會給你重新再剃的，這就是名人的氣派。羅素回家後，習慣性地分析起看到的那句話的邏輯性來，既然理髮師不給那些自己剃鬚的人剃鬚，那麼他本人的鬍鬚又該由誰來剃呢？如果是他給自己剃鬚，則他違反了自己的承諾，砸了自己的招牌。如果他不給自己剃鬚，那麼他就會給自己剃鬚，也砸了自己的招牌，無論如何，他這塊招牌是砸定了，這就是著名的“理髮師悖論”。於是，羅素便構造出一個集合，即由所有不屬於集合A的元素構成一個集合A，即A=｛x|x∈Com（A）｝，即x不屬於集合A，這樣這個集合的元素就出現了矛盾，如果某個元素滿足集合A的條件，則它就不是集合A的元素，這與滿足集合A的條件就屬於集合A相矛盾，因此這樣的集合就對集合的定義產生了疑問，是不是集合論本身就有邏輯錯誤，從而導致上面結論的產生呢？從此，人們對集合論的好感便一落千丈，直接產生了歷史上的第二次數學危機。

集合論危機的解決產生了後來的分支型別論，即在定義集合時，就不能按照上面那樣有矛盾的方式進行定義，否則認為是不合要求的定義，是不被大眾認可的，就像你喊一個不識字的人寫一篇文章，讓一個用老年機的人偏要手機支付一樣，這是不合理的規定。分支型別論對後來的諸多概念進行了有效的規範，使數學的生命從此獲得了新生，同樣促進了數學的進一步發展。

數學真的很難嗎？

第三次數學危機則是近代高等數學的事情。根據微積分的理論，在定義積分時，用到了一個變數叫“無窮小變數”，即定義公式中的Δx，關鍵是這個無窮小變數可以作為分母，當然是不能等於0的，但當它在計算表示式中的結果值時，又是按照0來計算的，因此人們疑惑了，這個無窮小變數究竟是0，還是不是0，有點捉摸不定，要它是0就是0，要它不是0，它就不是0，被人們戲稱為數學理論中的“幽靈”，它可以隨人的意志而不斷變化的一個無法確定的永遠不會錯的神奇數。因此，高等數學在很長一段時間內都不被人們接受，直到牛頓和萊普利茲應用它來解決了很多實際問題時，人們才開始慢慢相信它的原理，其實極限的思想跟我們日常中有限空間的思維是不一樣的，例如，一條1釐米長的線段上有無數個點，一條2釐米長的線段上也有無數個點，那你能說它們的點一樣多嗎？如果你說後者的點比前者的點多一倍，那我們可以這樣來考慮，在1釐米長的線段上任意取一個點，都能在2釐米長的線段上找到一個不同點來與之對應，同樣，在2釐米的線段上任意取一個點，我也能在1釐米的線段上找到不同的點來與之對應，那麼它們就會建立一個一一對應關係，你能說2釐米長的線段上點就多麼？因此，無窮大或無窮小隻是代表一個極限存在，不能用現實的現象去解釋它，只需理解它的意義就好了。

當然上面的無窮小變數就是引起第三次數學危機的根源，而正因為這個變數讓無窮世界變成了有限計算，因此，微積分的理論應用越來越廣，已涉及現代科學的方方面面，因此，那些看似模糊的定義，卻讓近代數學的理論提升了一大截，只有在變化的世界中發現更多的不變關係，才能提高數學的應用範圍和應用技巧。

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數學，一門既有趣又重要的學科，正以越來越重要的姿態展現在人們的面前，未來廣闊的天地，一定會體現出數學的特殊作用，悖論與數學危機都是推動數學進步的一種方式，只有把數學作為未來科學的基礎部分，才能準確把握時代命運的步伐，讓世界變得更加和諧美好，更加耐人尋味。