引子：

空間立體幾何題幾何法主要分三類：1、求平行關係（線線平行，線面平行和麵面平行）；2、求垂直關係（線線垂直、線面垂直，面面垂直）；3、求任意關係（線線角、線面角、面面角）。今天我們運用作已知直線的“平行平面”+或者作已知直線的“相交平面”的方法簡捷明快解答空間立體幾何線面平行題最迅捷實用。

遊戲規則介紹：

平行關係：兩個事物沒有交點，在空間幾何裡比如線線平行是指兩條直線在同一平面內沒有交點（在空間內也可能是異面關係）；線面平行是指一條直線和一個平面沒有交點；面面平行是指兩個平面沒有交點等等。

相交關係：兩個事物有交點，在空間幾何裡比如線線相交是指兩條直線有交點形成一個平面；線面相交是指一條直線和一個平面有交點，而且只有一個交點；面面相交是指兩個平面有交點，且相交於一條直線等等。

（備註）：表面上看，平行關係和相交關係是相反的，互斥的關係，事實上卻是相輔相成，互為依託的。

遊戲開始：

小兒垂釣自學始，自得其樂方法來。

第一步：理論分享與證明

1、線面平行，面面平行的性質

線面平行的性質定理：

如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那麼這條直線和交線平行。（相交平面+平行交線）

理論運用：

過已知做一個平面與已知平面相交，則已知直線與交線平行。

面面平行的性質：

如果兩個平面平行，那麼其中一個平面內的直線平行於另一個平面。（平行平面+全面性）

理論運用：

若兩個平行平行，一個平面所有內直線平行另一個平面。即若能過已知直線作一個平面平行已知平行，則已知直線平行已知平面。

已知：直線A’D’和平面ABCD。

方法：過直線A’D’做一個平面PQA’D’，若平面PQA’D’∥平面ABCD，則直線A’D’∥平面ABCD。（平面PQA’D’裡所有直線平行平面ABCD）

下圖是平面PQA’D’與平面ABCD相交於180°時的影象（即平面PQA’D’∥平面ABCD）。

平面PQA’D’∥平面ABCD

2、線面平行，面面平行的判定

線面平行的判定定理：

如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行，那麼這條直線和這個平面平行。（平行直線+相交平面）

理論運用：

過已知做一個平面與已知平面相交，交線平行已知直線，則已知直線平行已知平面。

已知：直線A’D’和平面ABCD。

方法：過直線A’D’做一個平面PQA’D’，與已知平面相交於直線A’’D’’；若A’’D’’∥A’D’。則直線A’D’∥平面ABCD。

下圖是平面PQA’D’與平面ABCD相交於20°時的影象。

下圖是平面PQA’D’與平面ABCD相交於90°時的影象。

下圖是平面PQA’D’與平面ABCD相交於150°時的影象。

下圖請欣賞：平面PQA’D’與平面ABCD相交於的動態圖

解注：

過已知直線做相交平面與已知平面相交，若交線平行已知直線，則該直線與已知平面平行。即A’’D’’∥A’D’。則直線A’D’∥平面ABCD。

面面平行的判定定理

如果一個平面內有兩條相交直線都平行於另一個平面，那麼這兩個平面平行。

理論運用：

過一個組相交直線（組成相交平面）分別在已知平面內作已知直線的平行直線，則該相交平面平行已知平面。

第二步：高考真題分享

1、【2019全國一文】

如下圖，直四稜柱ABCD-A1B11CD1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E、M、N分別是BC、BB1，A1D的中點。

⑴證明：MN∥平面C1DE；

⑵求點C到平面C1DE的距離。

2019年高考數學全國一卷文科立體幾何試題

分析：

從已知可知，需要證明MN∥平面C1DE，只有兩種方法，要麼過MN作相交平面，要麼過MN作平行平面。因為過 M、N分別做平面C1DE的平行線不是很方便，且面A1MN與面C1DE有交點D，故考慮過MN作相交平面。

解：

連線A1M且延長，同時延長線段AB交A1M點G，連線DG，則DG是新作平面A1MN與已知平面C1DE的交線。若MN∥DG，則MN∥平面C1DG。

證明：

∵ M是BB1的中點，A1B1∥AB ∴ B是AG的中點。

同理：

∵ B是AG的中點，A1B1∥AB ∴ M是A1G的中點。

∵ N是A1D的中點； ∴ MN是△A1DG的中位線 ∴ MN∥DG

∵ B是AG的中點，BC∥AD，BC=AD ∴ BC與DG的交點是DC的中點

∵ E是DC的中點 ∴ DG透過點E。 ∴ MN∥DE

∴ DE⊆平面C1DE ∴ MN∥平面C1DE

命題得證！

下圖請欣賞：過已知直線MN作已知平面C1DE的相交平面A1DG的動態圖

過已知直線作相交平面動態圖

2、【2016全國三文】

如圖，四稜錐 P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC， AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M是線段AD上一點，AM=2MD，N是PC的中點。

⑴證明：MN∥平面PAB；

⑵求四面體N-BCM的體積。

分析：

從已知可知，需要證明MN∥平面PAB，只有兩種方法，要麼過MN作相交平面，要麼過MN作平行平 面。因為過 M、N的平面與平面PAB沒有比較容易找的交線，故考慮過MN作平行平面。

解：

過M作MG∥AB交BC於G，連線NG（此時需要證明NG∥PB，或者再作NG’∥PB交BC於G’，證明G與G’重合），此時若平面PAB∥平面MNG，則MN∥平面C1DG。

證明：

∵ MG∥AB 且BC ∥AD ∴ BG=AM

∵ AD=3， AM=2MD ∴ AM=2 ∴ BG=AM=2

∵ BC=4 ∴ G是BC的中點

∵ N是PC的中點 ∴ MG是△PBC的中位線 ∴ NG∥PB

∵ MG∥AB ∴ 平面GMN∥平面PAB

∴ MN⊆平面GMN ∴ MN∥平面PAB

命題得證！

下圖請欣賞：過已知直線MN作已知平面PAB的平行平面MNG的動態圖

過已知直線作平行平面動態圖

第三步：小結

線面平行是一個很重要的概念，透過線面平行能得到線線平行，也能透過線面平行得到面面平行。可以說，線面平行是線線平行與線面平行的紐帶。從理論分享和高考真題分享得知，證明線面平行的方法有且僅有兩個：過已知直線作已知平面的相交平面或者作已知平面的平行平面，即作“平行平面”+“相交平面”能完美解答線面平行的問題。若過已知直線的平面與已知平面有交點，且交線容易找到，則作已知平面的“相交平面”；反過來，若交線不容易找到，得考慮作“平行平面”。二選一的必選題，希望對神獸們有幫助。

第四步：遊戲結束！