波恩哈德·黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826年—1866年）出生於漢諾威王國（今德國）的小鎮佈列斯倫茨。他的父親是當地的路德會牧師，據說參加過反拿破崙的戰爭。

黎曼

黎曼家境貧寒，他幼年成長在奎克博恩，那兒沒有中學，啟蒙教育是父母完成的。直到1840年，黎曼14歲，搬到王國首都漢諾威和祖母一起生活，這才進入中學接受正規的教育。

黎曼自小體弱多病，他是個安靜害羞的人，遠離父母上學，讓他很想念家鄉。由於經濟拮据，黎曼沒錢去買參考書，幸好校長借給他一部數學家勒讓德的《數論》，這是一部共859頁的大本的名著。

勒讓德的《數論》

黎曼十分珍惜這種讀書機會，他如飢似渴地自學起來，6天之後，黎曼便學完並歸還了這本書。校長問他：“你讀了多少？”黎曼說：“這是一本了不起的書，我已經掌握了它。”校長就這本書的內容考他。黎曼對答如流，並且回答得很全面，讓校長大吃一驚！校長特許黎曼可以從自己私人藏書室裡借閱數學書籍。利用校長的藏書，黎曼還抓緊時間很快地自學了大數學家尤拉的著作，由此掌握了微積分及其分支。黎曼不僅從尤拉的著作中學到了數學知識，還學到了尤拉研究數學的技巧。

1842年，祖母去世後，他搬到呂內堡的約翰紐姆去上學。1846年，黎曼進入哥廷根大學學習哲學和神學。起初，他的志向是像父親一樣成為一個牧師，但在大學時，他去聽了一些數學講座，此時，高斯正在哥廷根任教，黎曼聽了高斯的線性代數課和斯特恩的方程論課程，黎曼實在剋制不住對數學的喜愛，就將改學數學的想法告訴了父親。黎曼的父親很通情達理，同意了他的請求。這樣，在得到父親的允許後，黎曼改學數學。1847年，黎曼去柏林大學進修 ，受到 C。G。J。雅可比和P。G。L。狄利克雷的影響。

1849年，黎曼回到哥廷根大學攻讀博士學位。兩年後，黎曼25歲時，提交一篇出色的關於複變函式的論文。考核這篇論文的正是大名鼎鼎的高斯。黎曼的這篇論文竟然讓75歲的高斯感動了——他可是一個很少動感情的人。高斯以他敏銳的直覺發現黎曼論文的重要性，後世也證明了這一點，這篇論文對於複變函式的發展有著關鍵性作用，也就是我們現在在複變函式課上都會先學到的柯西-黎曼方程。不僅如此，這篇論文還提到了黎曼曲面理論的最初概述，是函式和拓撲的結合，成為函式的幾何理論的基礎。

高斯這樣評價這篇論文：“一項重大而有價值的成果，不僅符合對博士論文所要求的各項指標，而且遠遠超過它們。”得到高斯如此評價，黎曼很快就在柏林大學獲得了博士學位。獲得學位後，黎曼留在哥廷根繼續數學研究。1853年，黎曼定義了黎曼積分並研究了三角級數收斂的準則。

1854年，黎曼成為了哥廷根大學的無薪講師，就職前需要做一個表示自己學術水平的演講，高斯為他選了歐幾里得第五公設的課題。

千百年來，歐洲人學習數學都必須要懂歐幾里得的《幾何原本》。歐幾里得從幾個基本的公設和公理出發，建立起一套嚴密的證明體系。此書嚴密的證明體系訓練了歐洲人的邏輯思維，對科學的誕生有著重要意義。在歐幾里得給出的公設中，第五公設的內容是：如果一條線段與兩條直線相交，在某一側的內角和小於兩直角和，那麼這兩條直線在不斷延伸後，會在內角和小於兩直角和的一側相交。

第五公設

這條公設不像其它公設那樣簡潔，總讓人感覺，似乎第五公設是可以被證明出來的！然而，幾百年過去了，所有嘗試證明第五公設的人都失敗了！

波埃伊（Bolyai，1802年～1860年）試著證明第五公設，雖然父親反對他繼續從事這種看起來毫無希望的研究，但小波埃伊還是沉溺於第五公設。他在無數次證明失敗之後，突發奇想，乾脆假設第五公設不成立，進行了一些列的證明，最終也沒有找到矛盾之處。老波埃伊是高斯的同學，他把兒子的成果寄給高斯，想不到高斯卻回信道：“我無法誇讚他，因為誇讚他就等於誇獎我自己。”原來，早在幾十年前，高斯就做過同樣的嘗試，但他無法理解其中意義，也擔心不被人理解，故而沒有發表。

得知自己想的和大名鼎鼎的數學王子高斯一樣，波埃伊在1832～1833年間陸續發表了自己的研究結果。

高斯之所以為黎曼選擇這個論題，就是想看看，這個千百年來讓無數天才折戟成沙的高深問題，黎曼會有什麼樣的突破。可高斯萬萬沒想到的是，為了出色地完成這個論題，黎曼竟然直接創造了一門全新的數學分支——非歐幾何！

黎曼以“關於構成幾何基礎的假設”論文作了就職演講，創立了黎曼幾何學。歐幾里得假設空間是平直的，這種平直的空間被稱為歐幾里得空間。但空間是否是平直的，這其實是未知的。假如空間是彎曲的，那麼該怎麼處理幾何關係呢？黎曼認識到距離只是加到流形上的一個結構，因此在同一流形上可以有眾多的黎曼度量，從而擺脫了經典微分幾何曲面論中侷限於誘導度量的束縛。這樣，就算空間是彎曲的，也能使用幾何工具來進行演算。彎曲的黎曼空間就這樣在數學上被創造出來，儘管當時的人不知道這意味著什麼，但與會數學家們還是被黎曼高超的數學技巧所折服。

彎曲的宇宙空間

高斯聽完黎曼的演講之後大為驚異，感到這個年輕人處理這個難題非常之好，他讚不絕口。黎曼的這篇論文被人們認為是19世紀數學史上的傑作之一。黎曼幾何創立半個世紀，也沒有什麼實際應用，直到1915年，A。愛因斯坦運用黎曼幾何和張量分析工具創立了新的引力理論——廣義相對論。

廣義相對論的空間

1857年，黎曼成為副教授。1857年對於黎曼來說是重要的一年，雖然之前的博士論文寫得十分出色但是也只是得到了高斯的關注，沒有引起什麼大影響。而且之前的大多數學術演講中的內容都太過超前而沒有引起太大的反響。在1857年，他發表了一篇“阿貝爾函數理論”的論文，將阿貝爾積分與阿貝爾函式的理論帶到新的轉折點並做系統的研究。其中對黎曼曲面從拓撲、分析、代數幾何各角度作了深入研究。創造了一系列對代數拓撲發展影響深遠的概念，闡明瞭後來為G。羅赫所補足的黎曼-羅赫定理。這篇論文立刻被認為是重要貢獻。一兩年之後他的名字被歐洲所有數學家所知道。

1859年，高斯去世，黎曼接任數學教授一職。也就是這一年，黎曼發表的關於素數分佈的論文《論小於某給定值的素數的個數》中，研究了黎曼ζ函式，給出了ζ函式的積分表示與它滿足的函式方程，他指出素數的分佈與黎曼ζ函式之間存在深刻聯絡。這一關聯的核心就是J（x）的積分表示式。他在該論文中提出著名的黎曼猜想：黎曼ζ（s）函式的所有非平凡零點都位於臨界線上。黎曼的這篇論文非常重要，美國數學家德比希爾在《素數之戀》對此評價道：“數學從此和以前完全不一樣了！”

黎曼ζ（s）函式

黎曼猜想是當今數學界最重要的數學難題，當今數學文獻中已有超過一千條數學命題以黎曼猜想（或其推廣形式）的成立為前提。希爾伯特在1900年提出的二十三個問題的第八問題即黎曼猜想的證明。2000年，美國克雷數學研究所又將黎曼猜想列為千禧年七大難題之一，任何人只要解決這這七大難題之一即可獲得一百萬美元的獎金。

黎曼成為教授以後，生活漸漸改善，1862年，他與愛麗絲·科赫結婚。一年後，他的女兒出生在比薩。

但天妒英才，1866年7月20日，黎曼過早地離開了人世，也過早地離開了數學，終年僅40歲。

黎曼的著作不多，但卻異常深刻，極富於對概念的創造與想象。他的工作直接影響了19世紀後半期的數學發展，許多傑出的數學家重新論證黎曼斷言過的定理，他的名字出現在黎曼ζ函式，黎曼積分，黎曼引理，黎曼流形，黎曼空間，黎曼映照定理，黎曼-希爾伯特問題，柯西-黎曼方程，黎曼思路迴環矩陣中。在黎曼思想的影響下，數學許多分支取得了輝煌成就。