當粒子沿任意形狀的彎曲軌道運動時，可以將整個運動過程分解成無數個沿曲線在各點處的曲率圓運動的疊加。

在討論運動速度的問題中，我們曾經用沿直軌道的運動來逼近沿彎曲軌道的運動：沿彎曲軌道的運動可以被分解成無數個沿無窮短的直軌道運動的疊加。然而，在討論加速度的問題時，這種逼近並不合適。當粒子沿直軌道運動時，加速度的方向不會改變。但是，當粒子沿彎曲軌道運動時，加速度的方向是會發生改變的，顯然，沿直軌道運動的逼近方式不能反映這個特性。

為了研究如何更準確地逼近沿彎曲軌道的運動，需要引入一種新的座標系，稱為 “自然座標系”。在自然座標系中，取軌道上的任意點 （一般都會取運動開始的那一點） 為座標原點，座標軸沿著彎曲的運動軌跡，粒子的位置用從原點開始所經過的路程

表示，它是時間的函式：

。在這種表示方法下，粒子的運動速度自然就是

（1）

是軌跡曲線的切向單位向量。

對速度的表示式求一階時間導數：

（2）

在討論圓周運動時，我們已經透過分析得出

的方向沿圓軌道的內法線方向。類似的分析可以直接用到任意形狀的彎曲軌道，結果發現，對於任意形狀的彎曲軌道，

的方向指向軌跡曲線的主法線方向

。圓周曲線和平面曲線的內法線方向是一般空間曲線的主法線方向的特殊情形。餘下的問題是確定

的數值，為了這個目的，需要引入一個新的概念。

在討論速度的問題中，我們用兩點之間的位置之差來定義速度。這個定義明確地告訴我們，想要獲得粒子在某個點上的運動速度，需要知道粒子在所研究的點以及鄰近的一個點的位置。我們知道，過兩個點可以畫一條直線，而過曲線上無限靠近的兩個點畫出的直線正是曲線在所研究的點上的切線，它是過該點最貼近曲線的直線，用它來逼近運動軌跡是一種一級近似。但是，正如前面所說，這種逼近不能完整地反映加速度的特性。如果要考慮加速度帶來的效應，就必須用帶有彎曲性質的曲線來逼近，這是一種二級逼近。在討論加速度時，我們用兩點之間的速度差來定義加速度。由於確定速度需要使用軌跡上的兩個點的位置，因此，如果要用位置資料來確定加速度，就需要軌跡上至少三個點的位置。

考慮一個粒子沿著一條任意形狀的軌道運動，在某個時刻處於軌道上的

點。在這個時刻的前、後各一段時間間隔

時，粒子分別處於

點兩側的一個鄰近點，透過這三個相鄰的點可以畫一個圓周。如果所取的

很短，兩個相鄰點與

點就靠得很近，畫出來的圓周就會貼近軌跡曲線。現在，讓

不斷減小，兩個相鄰點將同時不斷地靠近

點，所畫出的圓周也在不斷地更貼近軌跡曲線。不難推斷，當

時，相鄰的兩點將無限地靠近

點，所畫出的圓周也將達到最貼近軌跡曲線的狀態。把這個最貼近軌跡曲線的圓周稱為曲線在

點的曲率圓，用

標記這個曲率圓的半徑，稱之為曲線在

點的曲率半徑，它的倒數被稱為曲線在

點的曲率。曲率反映了曲線的彎曲程度，曲線在某點處的彎曲程度越高，在該點處的曲率半徑就越小，曲率就越大。

有了曲率圓的概念，就可以繼續討論加速度的問題了。既然曲率圓是最貼近曲線的圓，那麼，粒子在

點的鄰域走過的路程就可以用這段路程對

點的曲率圓中心的張角近似地表示：

。在極限情況下，

。

另一方面，與在《圓周運動：極座標系》中討論

和

的情況相似，從簡單的幾何關係就可以論證，在極限情況下，切向單位向量轉過的角度與曲率半徑掃過的角度相同。由於單位向量的長度為 1，因此，

。於是，

。利用路程與轉角的關係，結合 （2） 式，得到加速度的表示式：

（3）

公式的第一項反映了速度大小的變化，稱為切向加速度，第二項反映了速度方向的改變，稱為法向加速度。在勻速圓周運動中，由於加速度的大小並不改變，因此，切向加速度等於零，而法向加速度就是我們熟悉的向心加速度。

加速度的表示式 （3） 式與《變速圓周運動》中的表示式非常相似，唯一的改變是用曲率半徑代替了圓周的半徑。這種相似性顯示出一件相當有趣的事情。從數學上說，在一條曲線的任意點處的曲率圓比該點處的切線更貼近這條曲線。因此，從這個近似的意義上說，在這一瞬間，粒子沿著彎曲軌道在該點處的曲率圓運動。把這個分析過程應用到運動軌跡的每一個點上，我們就可以得出一個奇妙的結論：當粒子沿任意形狀的彎曲軌道運動時，可以將整個運動過程分解成無數個沿曲線在各點處的曲率圓運動的疊加，這些曲率圓在軌跡曲線的每一點上與運動軌跡相切並相互銜接，這樣不斷地發生改變，就構成了一條連續的和光滑的彎曲軌跡。