瑞士數學家路德維希·施萊夫利（1814-1895）介紹了存在於四維空間中的物體，讓我們見識到了一系列奇形怪狀的四維正多面體。它們有著 24、120、甚至 600 個面！

四維空間的概念並非僅源於一人，而是靠著無數前人的創造力，才得以在數學的領域中發展出完整的架構。偉大的黎曼（Riemann）即是眾多維幾何的奠基人之一。黎曼將在該系列影片最後一章登場。毫無疑問地，他對於四維空間於十九世紀中葉時期發展成之概念，亦有透徹的瞭解。

▲ 三維多維幾何的奠基者：凱萊、施萊夫利和黎曼（自左向右）

但是我們請來了施萊夫利的主要原因是這位開山始祖如今幾乎已遭人們遺忘，甚至於數學圈內也不例外。他是最先能領會到此概念的人之一：即便我們身處的空間似為三維，我們仍可作出對四維空間的想像，或甚至證明有關數學四維方面的幾何定理。

對他而言，雖然四維空間是一個完全抽象的概念，但在長年的深入研究之後，他一定會覺得處在四維空間比在三維空間中自在多了！他的重要著作為發表於 1852 年的《Theorie der vielfachen Kontinuitt》（多重連續體理論），開始了多維空間線性幾何的研究。在當時，瞭解這篇論文的重要性的人可謂寥寥無幾。一直到二十世紀初期，數學家們才領會到此篇鉅著的意義。

四維空間有許多年一直呈現著一種神秘、不可能的樣貌，就算於數學界中也不例外。對一般人來說，四維空間常使人聯想到的是充滿違反現實情節的科幻小說，或者有時候是愛因斯坦相對論：“第四維不就是時間嗎？”。然而，這樣子是把數學跟物理上的問題混為一談。我們將會在短時間內回來討論這一點。首先，讓我們設法像施萊夫利一樣地來理解純粹由想像而生的四維空間吧！

▲ 《星際穿越》影片中所呈現高維空間

施萊夫利用黑板來回顧我們在前面章節中學過的幾個概念。一條線是一維的，因為我們只需一個數字即可定位某點的位置。這個數字稱為該點的橫座標，或是 x 座標。如果原點左邊取負值，而於右則正。

黑板的平面是二維的，因為如欲確認其中一點的位置，可在黑板上畫下互相垂直的兩條直線，然後再描述出該點相對於這兩根軸的位置即可：它們即為橫座標和縱座標（x 座標與 y 座標）。

對於我們所處於的空間，可再加畫第三條垂直於黑板的軸線。我們當然不太可能找得到可以把直線畫到黑板外面去的粉筆，但是我們都已經準備好要開始四維世界的旅程了，理當需要神奇粉筆的幫助才行！

如此一來，我們就可以用三個數字（一般設為 x、y 與 z 來描述空間中任何一點的位置，而這就是為什麼我們要說空間是三維的原因。當然，我們還會想要繼續往下推廣，但是想要畫出垂直於原本的三條直線的第四條軸是不可能的；這是理所當然的事，因為我們所處於的自然空間是三維的，故我們不應在此尋找四維空間，而是憑藉著我們的想像力……。

施萊夫利提出了幾種可使我們瞭解四維概念的方法。就如同向扁平蜥蜴解釋三維空間一般，在這可用上的解釋方法也不止一種。透過多個不同方法的組合，我們便得以一覽四維空間。

第一種方法是最實際的一種。我們直接規定四維空間內任意一點只不過是四個數字的集合： x、y、z、t。這種方法的缺點是很難用視覺化展示。不過，這種方法完全符合邏輯，並且數學家所接受。透過此法，我們就可以參考二維與三維空間，嘗試如法炮製地給出各種四維空間之物體的定義。例如，複製空間內一平面的定義，我們可以定義一個（超）平面為一組點集，其所有點的座標 （ x ， y ， z ， t ）皆滿足型如 ax+by+cz+dt=e 的線性方程。在這種定義底下，我們就可以發展出一整套符合邏輯的幾何、證明定理等等。事實上，這是唯一可以嚴謹地處理高維空間的方法。但該影片並不以“過度嚴謹”為目的，而是旨於“視覺化展示”出四維空間，並且解釋一些數學家對它的直觀想法。

施萊夫利接著給出一種“類推”的解釋。其構想是：認真地觀察一、二與三維空間，注意其中某些現象，然後假定這些現象在四維空間中仍成立。此過程頗為困難，且並不完全適用於所有情況。一隻離開了自己的平面國度，進入了三維空間的蜥蜴定要做好遇到驚喜的心理準備，而需要一段時間適應。對於“類推”的方法，進入了四維空間的數學家也是如此。施萊夫利以線段、等邊三角形、正四面體為例。我們發現到這些物件之間存在著某種類推關係，而毫無疑問地，正四面體在某些方面上是由將等邊三角形推廣到了三維空間的情形。

那麼，將正四面體推廣到了四維空間的東西又是什麼呢？

線段有兩個頂點，屬於一維空間。三角形有三個頂點，屬於二維空間。四面體有四個頂點，屬於三維空間。不禁使人想像：此序列將會繼續發展下去，而存在著這麼一個四維物件，它有著五個頂點，延續了這一序列。我們可以發現：三角形和四面體的各雙頂點之間皆由一條邊互相連線。若我們先不在意繪製圖形所在的空間，而嘗試著把五個頂點兩兩相連，那麼我們就會發現需要十條邊才行。然後，自然而然地，我們會試著在每三個頂點間都配置一個三角形。我們同樣地會發現需要十個三角形。接著，我們繼續在每四個點間都配置一個四面體。我們還能完全地弄清楚這個東西的形態……我們已知道它的頂點、邊、面以及三維面，但其真面目尚朦朧不清。

數學家使用了組合學知識來描述已知之事：我們知道是哪些邊連結了哪些頂點，但我們仍然不能由幾何的觀點看到此物件。這個被我們猜想而出，而將線段、三角、四面體的序列延續下去的幾何體，被稱作單純形（Simplex， 或單體）！

例如，0-單純形就是點，1-單純形就是線段，2-單純形就是三角形，3-單純形就是四面體，而4-單純形是一個五胞體。

多邊形是處在平面上，而多面體則是存在於一般的三維空間裡。四維（或更高維）空間中類似的物體一般而言被稱為正多胞形，雖然它們常直接被稱為多面體。

柏拉圖討論了普通三維空間內的正多面體，而施萊夫利則描述了四維空間內的正多面體。其中，有些多面體的性質十分豐富，而本片欲將這些多面體展示給處於三維空間中的觀眾們，採用的方法則與本片向蜥蜴們展示柏拉圖體時所使用的方法相同，而非像是在展示一盆花或是一本書（無可否認地，要向您展示四維空間的花朵對本片的作者們將十分地困難。真可惜！）。這裡我們有施萊夫利最美麗的貢獻之一：對四維空間中六個正多面體完整且確切的描述。它們皆存在於四維空間中，故它們有著頂點、邊、二維面、與三維面。以下將這些多面體的名稱與邊、面等數量整理成一個表格：

這將有助於瞭解它們的具體形象。參見這裡或這裡 或是這裡以獲得更多四維空間中的多面體之相關資料。

我們怎麼在四維空間中“看”到東西？不幸地，我們無法給你一副 4D 眼鏡，但是還有其它方法可循。

▌截面法

我們跟蜥蜴起初的時候一樣地開始。我們正處在我們的三維空間中，而我們想像有個東西從四維空間中經過，然後漸漸地穿過我們的三維空間。

此截面正在我們的空間中，且它現在是一個變形中的多面體，而不是一個變形多邊形。藉由觀察此截面之形狀漸漸地變化，直至消失不見為止，我們就可以得到對於四維多面體的形狀的一種直覺。用這種方法要認出該物體並不容易，而對於蜥蜴們來說更是困難。

在影片中我們見到了超立方體、120、600 這三個正多胞體。看它們穿過我們的空間，展示著它們的變形三維多面體截面，令人印象十分地深刻，但卻不易瞭解。

下面為 正600胞體 穿過我們的三維空間之情形。

由於四維空間不易瞭解，不妨採用幾種相輔相成的方法。

▌成影法

我們於此章中給出的另一個方法幾乎比截面法更顯而易見。對蜥蜴也可以使用這種方法。這是畫家為了將三維的景色在二維的畫布上表示出來所採用的技巧。他將景象投影到畫布上。舉例而言，他可以於物體後面放置一光源，然後觀察此物體在畫布留下的陰影。物體的陰影只能給出部分的資訊，但我們若把物體置於光源前旋轉，然後觀察影子變化的方式，我們通常就可以得出對於該物體非常確切的概念。這些都是透視法的藝術。

同理：想像我們想要表現的四維物體正位在四維空間中，而有一個燈源將其投影到我們的三維空間中的畫布上。若該物體在四維空間中旋轉，影子就會被變形，而我們就能得到對此物體的概念，儘管我們是看不見它的！

首先，我們看到了超立方體。相較於截面法之下，我們能更清楚地看見它。

再來則是我們認為是施萊夫利最以其為榮的 正24胞體！原因在於這個新出現的物體實在是非常地新奇；與其它多面體不同的是，它並不是由任何一種三維多面體所推廣而來的。再者，它有著奇妙的自對偶（self-dual）性質：例如，它的二維面數與一維面數（邊數）相同，而三維面數與零維面數（頂點數）也相同。

最後，我們看到了之前已經見過其截面的 120 與 600 胞體。這種新的檢視方法讓這些實為複雜的四維多面體呈現出了其它的面貌。截面與成影這兩種方法各有其所長，但無可否認地，它們並沒有把這些美麗的物體所擁有的對稱性充分地表達出來。

我們將於下一章中使用另一種方法，稱為球極平面投影法！也許它有助於我們看得更為清楚？

文章轉自dimensions-math。org，［遇見］有修改補充，轉載請註明。